山西大学附中

2016-2017学年高三第一学期9月（总第一次）模块诊断

数学试题(文)

（考查时间：120分钟）（考查内容：全部）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知集合
，
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

2.设复数
满足
，则
（ ）

A．
? ????? B．
??????? C．?
???????? D．

3．命题“若
”的逆否命题是(　　)

A．若
B．若

C．若则
D．若

4.已知
，
，
，则
的大小关系为(　　)

A．
　 　B．
C．
　　D．

5．已知
，
，则使
成立的一个充分不必要条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

6.平面向量
与
的夹角为60°，
则
（ ）

A.
B.
C.4 D.12

7.某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0．19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）

A．17 B．16 C．15 D．14

一年级

二年级

三年级



女

373







男

377

370







8．如右图所示的程序框图输出的所有点都在函数(　　)的图像上

A．
B．
C．
D．

9．在约束条件
下，若目标函数
的最大值不超过4，则实数
的取值范围（ ）

A.
B.
C.
D.

10．已知双曲线
，过其左焦点
作
轴的垂线交双曲线于
两点，若双曲线右顶点在以
为直径的圆内，则双曲线离心离的取值范围为(　　)

A．
B．
C．
D．

11．已知定义在
上的函数
，
为其导数，且
恒成立，则（ ）

A．
B．

C．
D．

12．已知函数
（注：
是自然对数的底数），方程
有四个实数根，则
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 两平行直线
与
之间的距离为 ．

14. 设
，且
，则
的最小值为 ．

15．直三棱柱
的各顶点都在同一球面上，若
,

，则此球的表面积为 ．

16.若数列
是正项数列，且
，则
________．

三、解答题

17.（本小题满分12分）如图，在
中，
，角
的平分线
交
于点
，设
，
．（Ⅰ）求
；（Ⅱ）若
，求
的长．

18．（本小题满分12分）如图，已知矩形
所在平面垂直于直角梯形
所在平面于直线
，且
，
且
∥
．

（Ⅰ）设点
为棱
中点，求证：
平面
；

（Ⅱ）线段
上是否存在一点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值等于
？若存在，试确定点
的位置；若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分12分）某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图（如图）.

（Ⅰ）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；

（Ⅱ）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率．

20. （本小题满分12分）已知椭圆

的一个顶点为
，离心率为.直线
与椭圆C交于不同的两点
.

(Ⅰ)求椭圆
的方程； (Ⅱ)当
的面积为
时，求
的值．

21.（本小题满分12分）已知函数

(Ⅰ)求函数
的最大值；

(Ⅱ)若函数
与
有相同极值点，

①求实数
的值；

②若对于
（
为自然对数的底数），不等式
恒成立，求实数
的取值范围.

请考生在第22、23题中任选一题作答.若多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分) 在直角坐标系
中，圆
的参数方程
为参数）．以
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求圆
的极坐标方程；

（Ⅱ）直线
的极坐标方程是
，射线
与圆
的交点为
、
，与直线
的交点为
，求线段
的长．

23.（本小题满分10分）已知函数

（Ⅰ）若不等式
的解集为
，求实数
的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若
对一切实数
恒成立，求实数
的取值范围.

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2016-2017学年高三第一学期9月（总第一次）模块诊断

数学试题答案

（考查时间：120分钟）（考查内容：全部）

选择题

理科：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



C

A

D

A

C

B

D

B

D

A

C

B



文科：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



C

A

D

A

C

B

B

D

D

A

C

B



二.填空题

13. 1 14.(理) -2 (文) 6 15. 20
16.
.

三.解答题

17.解：（Ⅰ）
，
，∴
……1分

则

∴
． ………………… 3分

∴

．… …………………6分

（Ⅱ）由正弦定理，得
，即
，∴
………7分

又
，∴
，由上两式解得
…………8分

又由
得
，∴
．………………………12分

18．（Ⅰ）证明：（方法一）由已知，平面
平面
，且
，则
平面
，所以
两两垂直，故以
为原点，
分别为
轴，
轴，
轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

则
，所以
．

易知平面
的一个法向量等于
，

所以
，所以
，

又

平面
，所以
∥平面
．

（方法二）由图知，
两两垂直．连结
，其交点记为
，连结
，
．

因为四边形
为矩形，

所以
为
中点．因为
为
中点，

所以
∥
，且
．

又因为
∥
，且
，

所以
∥
，且
=
．

所以四边形
是平行四边形，所以
∥

因为

平面
，
平面
所以
∥平面
．---6分

（Ⅱ）解：当点
与点
重合时，直线
与平面
所成角的正弦值为
．理由如下：

因为
，设平面
的法向量为
，

由
得

取
，得平面
的一个法向量
．

假设线段
上存在一点
，使得直线
与平面
所成角
的正弦值等于
．

设
，

则
，
．

所以

．

所以
，解得
或
（舍去）．

因此，线段
上存在一点
，当
点与
点重合时，直线
与平面
所成角的正弦值等于
． -----12分

19.(文)（1）甲相对稳定。


，---6分

（2）从乙车间6件样品中随机抽取两件，共有15种不同的取法：（108，109），（108，110），（108，112），（108，115），（108，124），（109，110），（109，112），（109，115），（109，124），（110，112），（110，115），（110，124），（112，115），（112，124），（115，124）．设A表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”，则A的基本事件有4种：（108，109），（108，110），（109，110），（110，112）．故所求概率为P(A)=
． --------.12分

19.（理）解:( Ⅰ)记:“该射手恰好命中两次”为事件
,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件
,“该射手第二次射击甲靶命中”为事件
,“该射手射击乙靶命中”为事件
.

由题意知,
,

所以

.………………………………………………………………………6分

(Ⅱ)根据题意,
的所有可能取值为0,1,2,3,4.

,

.