山东省实验中学2017届高三第一次诊断性考试

数学试题(文科)

2016．9

说明：试题分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷为第1页至第2页，第II卷为第3页至第5页．试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上。书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟．

第I卷 (共50分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题只有一个选项符合题意)

(1)设集合
，
则

(A)
(B)
(C)
(D)

(2)己知复数
，其中i为虚数单位，则复数z在复平面上所对应的点位于

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

(3)己知命题p：“
”，则
是

(A)
(B)

(C)
(D)

(4)向量
若
，则

(A)2 (B)
(C)3 (D)

(5)若变量
满足
则
的最大值为

(A)0 (B)1 (C)
(D)2

(6)执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的n值为

(A)3 (B)4

(C)5 (D)6

(7)已知定义在R上的函数
满足
，
，则

(A)
(B)0

(C)1 (D)3

(8)函数
的图象同左平移
个单位，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的
，那么所得图象的一条对称轴方程为

(A)
(B)
(C)
(D)

(9)已知直线
是圆
的对称轴，过点
作圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长为

(A)2 (B)
(C)3 (D)

(10)己知函数
.若存在
，使得
，则实数b的取值范围是

(A)
(B)
(C)
(D)

第II卷(非选择题，共100分)

二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)

(11)已知函数
则
__________．

(12)在区间
上任取一个数x，则事件“
”发生的概率为__________.

(13)己知
的最小值为______________．

(14)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的体积为36，点E，F分别为棱
上的点(异于端点)，且EF//BC，则四棱锥
的体积为_____________．

(15)已知双曲线
的左、右焦点分别是
，正三角形AF1F2的一边AF1与双曲线左支交于点B，且
，则双曲线C的离心率为___________．

三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

(16)(本小题满分12分)

在
中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知
，
．

(I)求a的值；

(II)若角A为锐角，求b的值及
的面积．

(17)(本小题满分12分)

某汽车公司为了考查某4S店的服务态度，对到店维修保养的客户进行回访调查，每个用户在到此店维修或保养后可以对该店进行打分，最高分为10分．上个月公司对该4S店的100位到店维修保养的客户进行了调查，将打分的客户按所打分值分成以下几组：

第一组［0，2)，第二组［2，4)，第三组［4，6)，第四组［6，8)，第五组［8，10］，得到频率分布直方图如图所示．

(I)求所打分值在［6，10］的客户的人数：

(II)该公司在第二、三组客户中按分层抽样的方法抽取6名客户进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人进行物质奖励，求得到奖励的人来自不同组的概率．

(18)(本小题满分12分)

已知等差数列
的公差d=2，前n项的和为
．等比数列
满足
，
.

(I)求
及数列
的前n项和
；

(II)记数列
的前n项和为
，求
.

(19)(本小题满分12分)

在四棱锥A—BCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面
底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点．

(I)求证：AO⊥CD；

(II)求证：平面AOF⊥平面ACE．

(20)(本小题满分13分)

已知函数
，曲线
在点
处的切线与直线
垂直(其中e为自然对数的底数)．

(I)求
的解析式及单调递减区间：

(II)是否存在常数k，使得对于定义域内的任意x，
恒成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

(21)(本小题满分14分)

已知椭圆
的一个焦点与抛物线
的焦点相同，
为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上任意一点，
面积的最大值为1.

(I)求椭圆C的方程；

(II)直线
交椭圆C于A，B两点．

(i)若直线
的斜率分别为
，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；

(ii)若直线l的斜率是直线OA，OB斜率的等比中项，求△AOB面积的取值范围．

山东省实验中学2017届高三第一次诊断性考试

数学（文科）答案

1-10 DBBCC CBDDC 11-15

2 12

（16）解：(Ⅰ) 在
中， 因为
，

由正弦定理
，解得
． …………………4分

(Ⅱ) 因为
， 又
，

所以
，

由余弦定理
，得
.

解得
或
（舍）.

. …………………12分

（17）解：(Ⅰ)由直方图知，所打分值在
的频率为
．

所以所打分值在
的客户的人数 为
人……………….4分

(Ⅱ)由直方图知，第二、三组客户人数分别为10人和20人，所以抽出的6人中，第二组有2人，设为A，B；第三组有4人，设为a,b,c,d．

从中随机抽取2人的所有情况如下：

AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15种．

……………… 8分

其中，两人来自不同组的情况有：Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd共有8种， ………………………10分

所以，得到奖励的人来自不同组的概率为
． ……………………12分

（18）解：（Ⅰ）因为等差数列{
}的公差
，由题知：
，

所以
，解之得

得
，

设等比数列{
}的公比为
，则
，所以

于是
………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，所以

因此

………………12分

（19）证明：（Ⅰ）因为
为等边三角形，
为
的中点，

所以
．

又因为平面
平面
，平面
平面
，

平面
，所以
平面
．

又因为
平面
，

所以
．……………………………………………………………6分

（Ⅱ）连结
，因为四边形
为菱形，

所以
．

因为
分别为
的中点，

所以
，所以
．

由（Ⅰ）可知，
平面
．

因为
平面
，所以
.

因为
，所以
平面
．

又因为
平面
，

所以平面
平面
．…………………………………………………12分

（20）解：（Ⅰ）函数
的定义域为
.
，

又由题意有：
，所以
故
.

此时，
，由
或
，

所以函数
的单调减区间为
和
.…………………………………5分

（Ⅱ）要
恒成立，即
.

①当
时，
，则要：
恒成立，

令
，则

令
，则

所以
在
内递减，所以当
时，
，故
，

所以
在
内递增，
.故
.

②当
时，
，则要：
恒成立，

由①可知，当
时，
，所以
在
内递增，

所以当
时，
，故
，

所以
在
内递增，
.故
.

综合①②可得：
，即存在常数
满足题意. ……………………………………13分

（21）解：（Ⅰ）由抛物线的方程
得其焦点为
，所以的椭圆中
，

当点
为椭圆的短轴端点时，
面积最大，此时
，所以
．

，
，
为椭圆的左、右焦点.
为椭圆上任意一点，
面积的最大值为
．

所以椭圆的方程为
……………………………………4分

（Ⅱ）联立
得

，得
（*）

设
则

，

（i）
，
，由

，得

,

所以
，即
，

得
. 故直线
的方程为
，因此直线
恒过定点，该定点坐标为

……………………………………9分

（ii）因直线
的斜率是直线
,
斜率的等比中项，所以
，即
.

得
，得
，所以
，又
，所以
， 代入（*），得
.