安徽省江南十校2017届高三摸底联考

理科数学

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知复数
，则
为（ ）

A．
B．
C．
D．

2.已知集合
，则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3.将函数
的图像经过恰当平移后得到一个偶函数的图像，则这个平移可以是（ ）

A．向左平移
个单位 B．向左平移
个单位 C．向右平移
个单位 D．向右平移
个单位

4.已知直线
被圆
截得的弦长为2，则
的最小值为（ ）

A．3 B．
C．
D．

5.某几何体的三视图如图所示，则其外接球的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

6.已知平行四边形
中，
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

7.执行如图所示的程序框图，如果输入的
值是407，
值是259，那么输出的
值是（ ）

A．2849 B．37 C．74 D．77

8.已知实数
满足
，则
的最大值为（ ）

A．1 B．2 C．4 D．2

9.已知双曲线
的离心率为
，左顶点到一条渐近线的距离为
，则该双曲线的标准方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

10.已知
为第三象限角，
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

11.一纸盒中有牌面为6，8，10的扑克牌各一张，每次从中取出一个张，依次记下牌面上的数字后放回，当三种牌面的牌全部取到时停止取牌，若恰好取5次牌时停止，则不同取法的种数为（ ）

A．60 B．48 C．42 D．36

12.设定义在
上的单调函数
，对任意的
都有
．若方程
有两个不同的实数根，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知二项式
的展开式中，第3项和第5项的二项式系数相等，则这个展开式的第4项为___________．

14.已知
分别为
三个内角
的对边，
，则
__________．　

15.已知定义在
上的函数
的图像关于
轴对称，且满足
，若当
时，
，则
的值为_________．

16.一个平面图形由红、黄两种颜色填涂，开始时，红色区域的面积为
，黄色区域的面积为
．现对图形的颜色格局进行改变，每次改变都把原有红色区域的
改涂成黄色，原有黄色区域的
改涂成红色，其他不变，经过4次改变后，这个图形中红色区域的面积是___________．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

已知数列
满足
．

（1）求证：数列
为等差数列；

（2）若数列
满足
，求数列
的前
项和
．

18.（本小题满分12分）

如图，四边形
为矩形，四边形
为直角梯形，
，平面
平面
为
的中点，且
．

（1）求证：
平面
；

（2）若
，求二面角
的余弦值．

19.（本小题满分12分）

某市有中型水库1座，小型水库3座，当水库的水位超过警戒水位时就需要泄洪．气象部门预计，今年夏季雨水偏多，中型水库需要泄洪的概率为
，小弄水库需要泄洪的概率为
，假设每座水库是否泄洪相互独立．

（1）求至少有一座水库需要泄洪的概率；

（2）设1座中型水库泄洪造成的损失量为2个单位，1座小型水库泄洪造成的损失量为1个单位，设
表示这4座水库泄洪所造成的损失量之和，求
的分布列及数学期望．

20.（本小题满分12分）

已知
分别是椭圆
的左、右焦点，离心率为
，点
在椭圆
上，且点
在
轴上的正投影恰为
，在
轴上的正投影为点
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）过
的直线
与椭圆
交于
两点，过点
且平行于直线
的直线交椭圆
于另一点
，问：四边形
能否成为平行四边形？若能，请求出直线
的方程；若不能，请说明理由．

21.（本小题满分12分）

已知函数
其中
是实数．设
为该函数图像上的两点，横坐标分别为
，且
．

（1）若
，函数
的图像在点
处的切线互相垂直，求
的最大值；

（2）若函数
的图像在点
处的切线重合，求
的取值范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，四边形
中，
交于点
，
的角平分线交
于点
．

（1）求
的值；

（2）若
，求证：
．

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，以原点
为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的参数方程为
（
为参数），曲线
的极坐标方程为
．

（1）求曲线
的普通方程和曲线
的直角坐标方程；

（2）设
为曲线
上一点，
为曲线
上一点，求
的最小值．

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
．

（1）解不等式
；

（2）若存在实数
，使得
成立，求实数
的取值范围．

参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

C

B

A

B

B

C

D

B

C

B



二、填空题

13.
14.
15.
16.

三、解答题

17.（1）证明：由已知得，
，即
，
，

故数列
为等差数列．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

∴
．．．．．12分

18.（1）证明：∵
，平面
平面
，平面
平面
，∴
平面
，从而
．

设
为
的中点，连接
．

∵四边形
为直角梯形，
，

∴四边形
为正方形，
为等腰直角三角形．

∴
，即
．

又
，∴
平面
．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）解：方法一（几何法）：连接
，设
，则
．

∵
，∴
平面
平面
．

∴
，

又
，

∴
平面
平面
，

∴
，

故
为二面角
的平面角．

设
，则
，

∴
，

即二面角
的余弦值为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　12分

方法二（向量法）：以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴建立如图所示的空间直角 坐标系，设
，则
．

∴
，

故
，设平面
的一个法向量
，则
，

∴
，令
，则
．

同理可得，平面
的一个法向量
．

∴
，由图可知，二面角
为锐二面角，故其余弦值为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

19．解：（1）至少有一座水库需要泄洪的概率是
．．．．．．．．．．3分

（2）
的可能取值为0，1，2，3，4，5．

；

；

．

故
的分布列为

0

1

2

3

4

5



















故
．．．．．．．．．．．．．．．．12分

20．解：（1）由题可得，
点坐标为
．

∴
解得
．

故椭圆的方程为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）

设直线
的方程为
、
．

由
得，
，

故
．

∴
，

故
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

∵
，

∴直线
的方程为
．

由
得，

，

∵