安徽省江南十校2017届高三摸底联考

文科数学

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知
为虚数单位，复数
，则
的虚部为（ ）

A．
B．
C．
D．-3

2.已知集合
，则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3.将函数
的图像经过恰当平移后得到一个奇函数的图像，则这个平移可以是（ ）

A．向左平移
个单位 B．向左平移
个单位 C．向右平移
个单位 D．向右平移
个单位

4.已知直线
与圆
相切，则
的值为（ ）

A．1 B．-1 C．0 D．0或1

5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

6.已知矩形
中，
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

7.执行如图所示的程序框图，如果输入的
值是407，
值是259，那么输出的
值是（ ）

A．2849 B．37 C．74 D．77

8.设数列
是各项均为正数的等比数列，
是
的前
项之积，
，则当
最大时，
的值为（ ）

A．5或6 B．6 C．5 D．4或5

9.已知实数
满足
，则
的最大值为（ ）

A．1 B．
C．4 D．2

10. 已知
为第三象限角，
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 已知双曲线
的离心率为
，左顶点到一条渐近线的距离为
，则该双曲线的标准方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

12.已知定义在
上的函数
的图像关于
轴对称，且满足
，若当
时，
，则
的值为（ ）

A．3 B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.函数
的单调递减区间为 ___________．

14.某学校高三年级共有11个班，其中
班为文科班，
班是理科班，现从该校文科班和理科班中各选一个班的学生参加学校组织的一项公益活动，则所选两个班的序号之积为3的倍数的概率为__________．　

15.已知直线
过点
，则
的最小值为_________．

16.已知数列
满足
，则
___________．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

已知
分别为
三个内角
的对边，且
．

（1）求
的大小 ；

（2）若
的面积为
，求
的值．

18.（本小题满分12分）

在2016年6月英国“脱欧”公投前夕，为了统计该国公民是否有“留欧”意愿，该国某中学数学兴趣小组随机抽查了50名不同年龄层次的公民，调查统计他们是赞成“留欧”还是反对“留欧”．现已得知50人中赞成“留欧”的占60%，统计情况如下表：

年龄层次

赞成“留欧”

反对“留欧”

合计



18岁—19岁



6





50岁及50岁以上

10







合计





50



（1）请补充完整上述列联表；

（2）请问是否有97.5%的把握认为赞成“留欧”与年龄层次有关？请说明理由．

参考公式与数据：
，其中

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，四边形
为直角梯形，
平面
，
为
的中点，
．

（1）求证：
平面
；

（2）设
，求点
到平面
的距离．

20.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系
中，点
到点
的距离比它到
轴的距离大1．

（1）求点
的轨迹
的方程；

（2）若在
轴右侧，曲线
上存在两点关于直线
对称，求
的取值范围．

21.（本小题满分12分）

已知函数
其中
是实数．设
为该函数图像上的两点，横坐标分别为
，且
．

（1求
的单调区间和极值；

（2）若
，函数
的图像在点
处的切线互相垂直，求
的最大值．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，四边形
中，
交于点
，
的角平分线交
于点
．

（1）求
的值；

（2）若
，求证：
．

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，以原点
为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的参数方程为
（
为参数），曲线
的极坐标方程为
．

（1）求曲线
的普通方程和曲线
的直角坐标方程；

（2）设
为曲线
上一点，
为曲线
上一点，求
的最小值．

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
．

（1）解不等式
；

（2）若存在实数
，使得
成立，求实数
的取值范围．

参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

A

A

C

C

C

B

D

C

B

D

D



二、填空题

13.
14.
15.
16. -435

三、解答题

17.解：（1）∵
，∴由正弦定理得
，

即
，∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）∵
，∴
，即
，

∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

18.解：（1）由题意可得列联表如下：

年龄层次

赞成“留欧”

反对“留欧”

合计



18岁~49岁

20

6

26



50岁及50岁以上

10

14

24



合计

30

20

50



．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）
，

∵
，

∴有97.5%的把握认为赞成“留欧”与年龄层次有关．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

19．（1）证明：

又
，∴平面
平面
．

∵
平面
，∴
平面
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（方法二）设线段
的中点为
，连接
．

∵
为
的中点，

∴
，且
．

又∵
，且
，∴
，∴四边形
为平行四边形，∴
．

∵
平面
平面
，

∴
平面
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）解：（方法一）∵四边形
为直角梯形，
．

∴四边形
为正方形，
为等腰直角三角形．

∴
，即
．　

又∵
平面
，∴
．

又
，∴
平面
，面
平面
，

∴平面
平面
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

过
作
于点
，则
平面
，即
为点
到平面
的距离．

∵
，∴
，∴
，点
到平面
的距离为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

（方法二）设点
到平面
的距离为
．

∵
，∴
，∴
．．．．．．．．．．9分

由方法一得，
平面
，∴
，

∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

20．解：（1）设点
的坐标为
．

由题意，
，即
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

化简得，
，

∴点
的轨迹
的方程为
．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）设曲线
上的两点
关于直线
对称，则可设直线
的方程为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

由
得
，

则
且
．

∴
，线段
的中点为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

∵
在直线
上，∴
．　

∵
，∴
．

即
的取值范围为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

21．解：（1）
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

当
时，
；当
时，
；当
时，
，

∴
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

当