宁夏育才中学2017届高三年级第二次月考

数学（理）试卷

（满分150分，考试时间120分）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）（23）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

注意事项：

1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
，
，则

A.
B．
C.
D．

2.设命题
：
，则
为( )

A.
B.
C.
D.
3. 在下列函数中，是偶函数,且在
内单调递增的是（ ）

A.
B.
C.
D.

4. 在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，若＝(2，4)，＝(1，3)，则＝(　　)

A．(2，4) B．(3，5) C．(－2，－4) D．(－3，－5)

5.“
”是“
”的（　　 ）

A．充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6．已知函数
则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

7.函数
的图象大致为（ ）

8.函数
的零点个数是 （ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

9.已知函数
, 则
的值为（ ）

A．
B.
C.
D.

10.定义在
上的奇函数
满足
是偶函数，且当
时，
，则
（ ）

A．
B．
C． -1 D．1

11.右图是函数
在区间

上的图象．为了得到这个函数的图象，只需将

的图象上所有的点（ ）

A．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标

缩短到原来的
倍，纵坐标不变

B．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

C．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变

D．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

12.设函数
，
. 若当
时，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是 （ ）.

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 把答案填在答卷的相应位置．

13.函数
的定义域是　　　　

14.已知
，令
，
，
，那么
之间的大小关系为

15.已知函数
，则
＝________．

16.在△ABC中，若
则△ABC的形状一定是

三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

（本小题12分）

已知函数
为奇函数，且函数
的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为
.

（1）求函数
的解析式.（2）若
，
为第二象限角，求
的值.

（本小题12分）

宁夏育才中学航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下方法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC＝105°和∠BAC＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD＝90°和∠ABD＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度（单位：米/秒）．(答案保留根号)

19.（本小题12分）

已知命题
函数
在区间
上单调递增；命题
函数
的图象上任意一点处的切线斜率恒大于1，若“
”为真命题，“
”也为真命题，求实数
的取值范围.

20.（本小题12分）

已知函数
，曲线
在点
处的切线方程为
.

（1）求
的值；（2）求
的单调区间及极值.

21.（本小题12分）

已知函数
,其中
．

（Ⅰ）若
在区间
上为增函数，求
的取值范围；

（Ⅱ）当
时，证明：
；

（Ⅲ）当
时，试判断方程
是否有实数解，并说明理由．

选做题（在22-23中选一题进行作答）

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知圆
的圆心
，半径
.

（Ⅰ）求圆
的极坐标方程；

（Ⅱ）若
，直线
的参数方程为
（
为参数），直线
交圆
于
两点，求弦长
的取值范围.

23．（本小题满分10分）选修4-4：不等式选讲

设

（1）当
，求
的取值范围；

（2）若对任意x∈R，
恒成立，求实数
的最小值．

宁夏育才中学2017届高三年级第二次月考

数学（理）参考答案

选择题：

BCADB DAABC AD

填空题

13.
14.
15.6 16.等腰或直角三角形

解答题

17解：（1）

（2）

18解：在△ABD中，∵∠BAD＝90°，∠ABD＝45°，

∴∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝80，∴BD＝80.

在△ABC中，＝，

∴BC＝＝＝40.

在△DBC中，DC2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 60°

＝(80)2＋(40)2－2×80×40×＝9 600.

∴DC＝40，航模的速度v＝＝2米/秒．

19解：若p为真命题，f ′(x)＝mx2＋2x＋1≥0在x∈(1，2)上恒成立，m≥－
－
＝－(
＋1)2＋1，

∵－(
＋1)2＋1＜－
，∴m≥－
．

若q为真命题，则当x＞－1时，g′(x)＝
＋x－m＋1＞1，m＜
＋x，

∵
＋x＝
＋x＋1－1≥2
－1＝3，当且仅当x＝1时取等号，∴m＜3．

由已知可得若p为真命题，则q也为真命题；若p为假命题，则q也为假命题，

当p，q同真时，－
≤m＜3，同假时m无解，故m∈[－
，3)．

20解：（1）f ′(x)＝ex(x＋a＋1)－2x＋b，

由已知可得f (0)＝a＝－2，f ′(0)＝a＋b＋1＝1，解得a＝－2，b＝2．（4分）

（2）f ′(x)＝(ex－2)(x－1)，由f ′(x)＞0得x＜ln2或x＞1，由f ′(x)＜0得ln2＜x＜1，

∴f (x)的增区间为(－∞，ln2)与(1，＋∞)，减区间为(ln2，1)，

∴f (x)的极大值为f (ln2)＝－(2－ln2)2，极小值为f (1)＝－e＋1.

21解：函数
定义域
，
．

（Ⅰ）因为
在区间
上为增函数，所以
在
上恒成立，

即
，
在
上恒成立，

则
………………………………………………………4分

（Ⅱ）当
时，
,
．

令
，得
．

令
,得
，所以函数
在
单调递增．

令
,得
，所以函数
在
单调递减．

所以，
．

所以
成立． …………………………………………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
， 所以
．

设
所以
．

令
，得
．

令
,得
，所以函数
在
单调递增，

令
,得
，所以函数
在
单调递减；

所以，
， 即
．

所以
，即

．

所以，方程

没有实数解． ……………………………………………12分

22解：（Ⅰ）∵
的直角坐标为
，∴圆
的直角坐标方程为
.

化为极坐标方程是
．．．．．．．．．．．4分

（Ⅱ）将
代入圆
的直角坐标方程
，

得
，即

有
.

故
，

∵
，∴
，∴
，

即弦长
的取值范围是
.．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

23解：（1）
，即

依题意：
由此得a的取值范围是

（2）

当且仅当
时取等号

解不等式
得
.故实数a的最小值为
.

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