龙泉第二中学高2014级高三上学期9月月考试题

数 学 （理科）

考试时间：120分钟 满分：150分

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.

1．有3个不同的社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为（　　）

A．
　　　　 B．
　　　 　C．
　　　 　D．

2．设复数z＝－1－i（i为虚数单位），z的共轭复数为
，则｜（1－z）·
｜＝（ ）

A．
B．2 C．
D．1

3.已知直线
,且
于
,
为坐标原点,则点
的轨迹方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）

A．
B.
C.
D.

5．已知函数
若
则实数
的值等于

A．3 B．－1 C．1 D．－3

6．已知双曲线
的右焦点与抛物线
的焦点重合，且其渐近线方程为
，则双曲线
的方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．下列有关命题的说法正确的是

A．命题“若
，则
”的否命题为“若
，则
”

B．“
”是“
”的必要而不充分条件

C．命题“
，使得
”的否定是“
，均有
”

D．命题“若
，则
”的逆否命题为真命题

8.“等式
成立”是“
成等差数列”的

　A．充分而不必要条件 B．充分必要条件

　C．必要而不充分条件 D．既不充分又不必要条件

9．执行如图所示的程序框图，如果输入
，
，那么输出的a值为（ ）

A.4 B.16 C.256 D.

10．函数y＝
（0＜a＜1）的图象的大致形状是（ ）

11.设等差数列
的前
项和为
，若
，则
中最大的是

A．
B．
C．
D．

12．将函数
图象上的点
向左平移
（
） 个单位长度得到点
，若
位于函数
的图象上，则

A.
，
的最小值为
B.
，
的最小值为

C.
，
的最小值为
D.
，
的最小值为

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知O是锐角△ABC的外心，B＝30°，若

＋

＝λ
，则λ＝_________．

14.已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围_________.

15.若
是数列
的前
项的和，且
，则数列
的最大项的值为___________.

16．已知
,数列
的前
项和为
，数列
的通项公式为
，则
的最小值为 ．

三、解答题：本大题包括6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本题满分12分）

已知函数

（I）求函数
的最小正周期；

（Ⅱ）求使函数
取得最大值的
的集合．

18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，

△PAD是等边三角形，四边形ABCD为平行四边形，

∠ADC＝120°,AB＝2AD．

（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PBD；

（Ⅱ）求二面角A－PB－C的余弦值．

19．（本小题满分12分）

为了让学生更多的了解“数学史”知识，某班级举办一次“追寻先哲的足迹，倾听数学

的声音”的数学史知识竞赛活动。现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行

统计，制成如下频率分布表：

（Ⅰ）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；

（Ⅱ）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备4道判断题，选手对其依次口答，

答对其中两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对1道，则获得二等奖。

某同学进入决赛，每道题答对的概率P的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值

相同。

（ⅰ）求该同学恰好答4道题而获得一等奖的概率；

（ⅱ）设该同学决赛结束后答题个数为X，求X的分布列及X的数学期望．

20.（本小题满分12分）

如图，已知直线
过椭圆
的右焦点
，抛物线：
的焦点为椭圆
的上顶点，且直线
交椭圆
于
两点，点
在直线
上的射影依次为点
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若直线
交
轴于点
，且
，当
变化时，探求
的值是否为定值？若是，求出
的值，否则，说明理由.

21（本小题满分12分）

已知函数
，
（
为自然对数的底数）.

（1）求
的极值；

（2）在区间
上，对于任意的
，总存在两个不同的
，使得
，求
的取值范围.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．

（Ⅰ）求证：C是劣弧BD的中点；

（Ⅱ）求证：BF=FG．

23．（本题满分10分）选修4-4 极坐标与参数方程

已知曲线
的极坐标方程为
，曲线
（
为参数）．

（1）求曲线
的普通方程；

（2）若点
在曲线
上运动，试求出
到曲线
的距离的最小值．

24.（本小题满分10分） 选修4－5：不等式选讲

已知函数
.

(Ⅰ)求不等式
的解集；

(Ⅱ)若函数
的最小值为
，且
，求
的最小值.

成都龙泉第二中学高2014级高三上学期9月月考试题

数学（理科）参考答案

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.

1—5 AABBD 6—10 ADCBD 11—12 BC

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．1 14. 15.12 16、-25

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本题满分12分）(Ⅰ) f(x)=sin(2x－)+1－cos2(x－)

= 2[sin2(x－)－ cos2(x－)]+1

=2sin+1

= 2sin(2x－) +1

∴ T==π

(Ⅱ)当f(x)取最大值时, sin(2x－)=1,

有 2x－ =2kπ+

即x=kπ+  (k∈Z)

∴所求x的集合为{x∈R|x= kπ+  , (k∈Z)}.

18．（本小题满分12分）

（I）证明： 在平行四边形
中,令
,则

，

在
中,
，

所以
. 又平面
平面
，

所以
平面
.所以平面
平面
.

（II）由（I）得
，以
为空间直角原点，

建立空间直角坐标系
，如图所示，

令
，

,

设平面
的法向量为
，则

得
令
，得
，

所以平面
的法向量为
； 设平面
的法向量为
，

即
令
，得
，

所以平面
的法向量为
. 所以
，

所以所求二面角
的余弦值为
.

20.（本题满分12分）

解：（Ⅰ）易知椭圆右焦点F（1，0），∴c=1，

抛物线
的焦点坐标
，∴
∴b2=3

∴a2=b2+c2=4∴椭圆C的方程

（Ⅱ）易知m≠0，且l与y轴交于
，

设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）

由

∴△=（6m）2+36（3m2+4）=144（m2+1）＞0

∴

又由

∴

同理

∴

∵

∴

所以，当m变化时，λ1+λ2的值为定值
。

21（本小题满分12分）

试题解析：（1）因为
，所以
，令
，得
． 当
时，
，
是增函数；当
时，
，
是减函数．

所以
在
时取得极大值
，无极小值． （2）由（1）知，当
时，
单调递增；当
时，
单调递减.

又因为
，

所以当
时，函数
的值域为
. 当
时，
在
上单调，不合题意；当
时，
，

故必须满足
，所以
． 此时，当
变化时，
的变化情况如下：











—

0

+





单调减

最小值

单调增



所以
．

所以对任意给定的
，在区间
上总存在两个不同的
，

（本题满分10分）

解：（I）∵CF=FG

∴∠CGF=∠FCG

∴AB圆O的直径

∴

∵CE⊥AB

∴

∵

∴∠CBA=∠ACE

∵∠CGF=∠DGA

∴

∴∠CAB=∠DAC

∴C为劣弧BD的中点（5分）

（II）∵

∴∠GBC=∠FCB

∴CF=FB

同理可证：CF=GF

∴BF=FG（10分）

23.（本题满分10分）

试题解析：（1）由
得
，代入
得

（2）曲线
的普通方程是：

设点
，由点到直线的距离公式得：

其中

时，
，此时

24.（本小题满分10分）

解：（1）由
知
，于是
，解得
，故不等式
的解集为
；……………………3分

（2）由条件得
，当且仅当
时，其最小值
，即
…………………6分

又
，…………8分

所以


，

故
的最小值为
，此时
.……10分

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