四川省双流中学2014级高三10月月考试题

理科数学

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷2共4页，共4页．满分150分．考试时间120分钟．

第I卷（共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．

1．已知集合
，
为虚数单位，则下列选项正确的是

A．
B．
C．
D．

2．设向量
，
，则“
”是“
∥
”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．给定下列两个命题：

；

：在三角形
中，
，则
. 则下列命题中的真命题为

A．
B．
C．
D．

4．公比为2的等比数列
的各项都是正数，且
，则

A．4 B．5 C．6 D．7

5．某公司为了了解某设备的使用年限与所支出的维修费用之间的关系，统计了5组数据如下表所示：

使用年限x（年）

2

3

4

5

6



维修费用y（万元）

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0



根据上表可求得回归直线方程为
，其中
，据此估计，该设备使用年限为10年时所支出的维修费用为

A．14.38万元 B．13.38万元 C．12.38万元 D． 11.38万元

6．某流程图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数

A．
B．

C．
D．

7．圆柱挖去两个全等的圆锥所得几何体的三视图如图所示，则其表面积为

A．30π B．48π C．66π D．78π

8．设
，
，给出下列四个结论： ①
； ②
；

③
； ④
，其中正确结论有

A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

9．已知抛物线
的焦点到双曲线
:
的渐近线的距离不大于
，则双曲线
的离心率的取值范围是

A．
B．
C．
D．

10.如图，在长方体
中，E，H分别是棱
上的动点（点E与
不重合），且
，过EH的动平面与棱
相交，交点分别为F，G.设
，
.在长方体
内随机选取一点，则该点取自于几何体
内的概率的最小值为

A．
B．
C．
D．

11. .函数
在一个周期内的图象如图所示，
，
在
轴上，
为图象上的最低点，
为该函数图象的一个对称中心，
与D关于点
对称，
在
轴上的投影为
，则
的值为

A．
B．
C．
D．

12．已知点
为函数
的图像上任意一点，点
为圆


上任意一点，则线段
的长度的最小值为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共70分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置）．

13．若
，则
__ ．

14．二项式
的展开式中的常数项是 ．

15．已知变量
满足
，则
的取值范围是 ．

16．在等差数列
中，前n项和为
，
，
，设
是数列
的前
项和，
，则
= ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）

17.（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的所对的边分别为
，且
．

（Ⅰ） 求
的值；

（Ⅱ） 若
，求
的最大值．

18.（本小题满分12分）

如图，在
中，已知
，
在
上，

且
，又
平面
，
，
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

19.（本小题满分12分）

成都某单位有车牌尾号为3的汽车A和尾号为7的汽车B，两车分属于两个独立业务部门.对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A车日出车频率0.6，B车日出车频率0.5.成都地区汽车限行规定如下：

车尾号

1和6

2和7

3和8

4和9

5和0



限行日

星期一

星期二

星期三

星期四

星期五





现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A，B两车出车相互独立．

(Ⅰ) 求该单位在星期一恰好出车一台的概率；

(Ⅱ) 设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E(X)．

20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系
中，椭圆
的离心率
，且点
在椭圆
上．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若点
、
都在椭圆
上，且
中点
在线段
（不包括端点）上．求
面积的最大值．

21．（本小题满分12分）

已知函数

．

（Ⅰ）若曲线
过点
，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求函数
在区间
上的最大值；

（Ⅲ）若函数
有两个不同的零点
，求证：

22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，以
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线
的极坐标方程为
，直线
的参数方程
（
为参数，
）．

（Ⅰ）求曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线
过定点
，求直线
被曲线
截得的线段
的长．

四川省双流中学2014级10月月考试题

理科数学参考答案

一.选择:

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

A

D

B

C

A

D

B

C

B

A

C



二：填空(4×5=20)

13.
。 14 15 。 15.
。 16. 2 。

三、解答题（本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）

17解：（Ⅰ）∵
，
，

∴
，∵C为△ABC内角，∴
，

则
；

（Ⅱ）由
，得
，∵
，

∴
，当且仅当
时“
”成立， 则S△ABC的最大值是
．

18．解：（Ⅰ）由题设得错误！未找到引用源。，

由错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。，知错误！未找到引用源。⊥平面错误！未找到引用源。.从而错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。中错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。为直角三角形，故错误！未找到引用源。 ……3分

又错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。又错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。

故错误！未找到引用源。∵错误！未找到引用源。∴错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。 …………6分

（Ⅱ）以错误！未找到引用源。所在射线分别为错误！未找到引用源。轴，建立直角坐标系如图

则由（Ⅰ）知，错误！未找到引用源。,

错误！未找到引用源。

由（Ⅰ）知错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。是平面错误！未找到引用源。的一个法向量，

设平面错误！未找到引用源。的法向量为

错误！未找到引用源。，

令错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。……10分

错误！未找到引用源。

由图可知，二面角错误！未找到引用源。的余弦值为错误！未找到引用源。…12分

19.解：（Ⅰ）设
车在星期
出车的事件为
，
车在星期
出车的事件为
，

设该单位在星期一恰好出一台车的事件为
，

因为
两车是否出车相互独立，且事件
互斥

所以

所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为
. ……………………5分

（Ⅱ）
的可能取值为0,1,2,3

所以
的的分布列为

0

1

2

3

















………12分

20． 解：（1）由题意得：
………2分

所以椭圆C的方程为
………4分

（2）①法一、设
，直线AB的斜率为

则

………6分

又直线
:
,
在线段
上, 所以
所以
………8分

法二、设
，直线AB的方程为
，

则

由题意，
所以
………6分

又直线
:
,
在线段
上,

所以
，所以
………8分

法三、设
，直线AB的方程为

则

由题意，
所以
………6分

又直线
:
,
在线段
上,

所以


在直线
上

解


得：
………8分

设直线AB的方程为
，

则
，所以
………9分

所以
,原点到直线的距离
…10分

当且仅当
时，等号成立.，所以
面积的最大值
…12分