龙泉第二中学高2014级高三上学期9月月考试题

数 学 （文科）

考试时间：120分钟 满分：150分

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.

1．若集合A={x|1gx＜1}，B={y|y=sinx，x∈R}，则A∩B=（　　）

　 A． （0，1） B． （0，1] C．
D． ?

2．复数
满足
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．将A、B、C、D四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且A、B两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 （ ）

A.15 B.20 C.30 D.60

4.设
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则
（ ）

A.
B.
C.１　　　　　　D.3

5．下列判断错误的是（ ）

A．若
为假命题，则
至少之一为假命题

B. 命题“
”的否定是“
”

C．“若
且
，则
”是真命题

D．“若
，则
”的否命题是假命题

6.将函数
的图像沿
轴向右平移
个单位后，得到的图像关于原点对称，则
的一个可能取值为（ ）

A.
B.
C.
D.

7.设向量

=（1，﹣2），

=（﹣3，2），若表示向量3

，2

﹣

，

的有向线段首尾相接能构成三角形，则

?

=（　　）

A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8

8.一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两个球，则摸出的两个都是白球的概率是（　　）

A．

 B．

 C．

 D．



9．在等差数列{an}中，若
，则
的值是（　　）

　A． ﹣5 B．
C．
D．

10. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，这个空间几何体的顶点均在同一个球面上，则此球的体积与表面积之比为( )

A．31 B．13 C．41 D．32

11. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的
的值是（ ）

A.

B．

C．

D．

12.已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线
=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为( )

A．
+2 B．
+1 C．
+1 D．
+1

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.已知函数
则
．

14.圆心在直线2x﹣y﹣7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4）、B（0，﹣2），则圆C的方程为 ．

15．若抛物线
的焦点在直线
上，则
的准线方程为____.

16.已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对于x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，当x1，x2∈且x1≠x2时，都有
＜0，给出下列四个命题：

①f（﹣2）=0；

②直线x=﹣4是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；

③函数y=f（x）在上为增函数；

④函数y=f（x）在（﹣8，6]上有四个零点．

其中所有正确命题的序号为　 　．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本题满分12分）

已知函数

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，b=1，
，且a＞b，试求角B和角C．

（本题满分12分）

为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了
人，他们年龄大点频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：

年龄

[5,15)

[15,25)

[25,35)

[35,45)

[45,55)

[55,65)



频数

5

10

15

10

5

5



支持“生育二胎”

4

5

12

8

2

1



 （I）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有
的把握认为以
岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：

年龄不低于45岁的人数

年龄低于45岁的人数

合计



支持









不支持









合计









 （Ⅱ）若对年龄在
的的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少？

参考数据：
，
，

19、（本小题满分12分）

已知函数
.

（I）求函数
的最大值；

（Ⅱ）设

,证明
＜1.

20．（本题满分12分）

已知直角梯形
中，
，
，
，
，
为
的中点，过
作
,将四边形
沿
折起使面
面
.

（1）若
为
的中点，求证：
；

（2）若
，试求多面体
体积.

（本题满分12分）

定义：在平面内，点
到曲线
上的点的距离的最小值称为点
到曲线
的距离.在平面直角坐标系
中，已知圆
：
及点
，动点
到圆
的距离与到
点的距离相等，记
点的轨迹为曲线
.

（Ⅰ）求曲线
的方程；

（Ⅱ）过原点的直线
（
不与坐标轴重合）与曲线
交于不同的两点
，点
在曲线
上，且
，直线
与
轴交于点
，设直线
的斜率分别为
，求

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC．

（Ⅰ）求证：BE=2AD；

（Ⅱ）当AC=1，EC=2时，求AD的长．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中
中，曲线C1的参数方程为
（t为参数）；在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为
曲线C1与C2交于A、B两点，

求|AB|。

24.（本题满分10分）选修4-5:不等式选讲

设函数f(x)=|x- 2|-|2x+l|．

(I)求不等式f(x)≤x的解集；

(II )若不等式f(x)≥t2一t在x∈时恒成立，求实数t的取值范围．

成都龙泉第二中学高2014级高三上学期9月月考试题

数学（文科）参考答案

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.

1—5 BBCAC 6—10 DBBCB 11—12 DD

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13、3 14.（x﹣2）2+（y+3）2=5 15、
16、①②④

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.解：（1）f（x）=cos（2x﹣
）﹣cos2x=
sin2x﹣
cos2x=
sin（2x﹣
），

令2kπ﹣
≤2x﹣
≤2kπ+
，x∈Z，解得：kπ﹣
≤x≤kπ+
，x∈Z，

则函数f（x）的递增区间为，x∈Z；

（2）∵f（B）=
sin（B﹣
）=﹣
，∴sin（B﹣
）=﹣
，

∵0＜B＜π，∴﹣
＜B﹣
＜
，

∴B﹣
=﹣
，即B=
，

又b=1，c=
，

∴由正弦定理
=
得：sinC=
=
，

∵C为三角形的内角，

∴C=
或
，

当C=
时，A=
；当C=
时，A=
（不合题意，舍去），

则B=
，C=
．

18．解：(Ⅰ)2乘2列联表

年龄不低于45岁的人数

年龄低于45岁的人数

 合计



支持





 32



不支持





 18



合 计

10

40

 50



………………………………………………2分

＜
…………………4分

所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.

………………………………………………5分

(Ⅱ)年龄在
中支持“生育二胎”的4人分别为
， 不支持“生育二胎”的人记为
, …6分

则从年龄在
的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.…………8分

设“恰好这两人都支持“生育二胎””为事件A，………………9分

则事件A所有可能的结果有：
，
，
，
，
，，
，

∴
………………11分

所以对年龄在单调递减．

当－1＜x＜0时，h(x)＞h(0)＝0，即g(x)＜1．

综上，总有g(x)＜1． …12分

20、证明：（1）取
的中点
，连接
，
，因为
，
，且
，

所以
，且
，所以四边形
为平行四边形，
，
，故
.

解：（2）因为面
，所以
，
，
两两垂直，连接
，所求的几何体分为两部分，四棱锥
与三棱锥
，

，

，

21、解析：（Ⅰ）由点到曲线的距离的定义可知，
到圆
的距离
，所以
，所以有
，由椭圆定义可得
点的轨迹为以
、
为焦点的椭圆，从而可求出椭圆的方程；（Ⅱ）设
,则
,则直线
的斜率为
，由
可得直线
的斜率是
，记
，设直线
的方程为
，与椭圆方程联立，得到关于
的一元二次方程，利用韦达定理用
表示
与
即可得到结论.

解：（Ⅰ）由分析知：点
在圆内且不为圆心，故
,

所以
点的轨迹为以
、
为焦点的椭圆，

设椭圆方程为
，则
，

所以
，故曲线
的方程为

（Ⅱ）设
,则
,则直线
的斜率为
，又
，所以直线
的斜率是
，记
，设直线
的方程为
，由题意知
，由
得：
.∴
，

∴
，由题意知，
，

所以
，

所以直线
的方程为
，令
，得
，即
.

可得
.

所以
，即

22.证明：（Ⅰ）连接DE，

由于四边形DECA是圆的内接四边形，

所以：∠BDE=∠BCA

∠B是公共角，

则：△BDE∽△BCA．

则：
，

又：AB=2AC

所以：BE=2DE，

CD是∠ACB的平分线，

所以：AD=DE，

则：BE=2AD．

（Ⅱ）由于AC=1，

所以：AB=2AC=2．

利用割线定理得：BD?AB=BE?BC，

由于：BE=2AD，设AD=t，

则：2（2﹣t）=（2+2t）?2t

解得：t=
，

即AD的长为
．

23.解：在ρ＝10cosθ的两边同乘以ρ，得ρ2＝10ρcosθ，

则曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝10x，……………………………………3分

将曲线C1的参数方程代入上式，得(6＋t)2＋t 2＝10(6＋t)，

整理，得t 2＋t－24＝0，

设这个方程的两根为t1，t2，则t1＋t2＝－，t1t2＝－24，

所以|AB|＝|t2－t1|＝＝3．……………………10分

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