成都外国语学校2017届高三9月月考

数 学（理工类）

命题人：王福孔 审题人：李斌

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．已知集合
，
，则集合
为（ ）

A．
B．
C．
D．

2．下列说法正确的是（ ）

A．
，“
”是“
”的必要不充分条件

B．“
为真命题”是“
为真命题”的必要不充分条件

C．命题“
，使得
”的否定是：“
，
”

D．命题
：“
，
”，则
是真命题

3．已知
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知
在
上是
的减函数，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．若函数
则
（ ）

A.
B.
C.
D.

6．函数
在区间
上的值域为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．设函数
，若
，则
（ ）

A．13 B．
C．7 D．

8．将函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，则
图象的一条对称轴是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．函数
的定义域是
，
，对任意
，
，则不等式

的解集为（ ）

A．
B．
C．
D．
,

10．已知函数
的部分图象如图所示，且

，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 已知函数
.若函数
恰有两个不同的零点
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
有两个零点
，则下列说法错误的是（ ）

A．
B．
C．
D．有极小值点
，且

第II卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）

13. 已知
,且
,则
_______________.

14. 已知函数
，则
_______.

15. 设
，则二项式
展开式中的
项的系数为 .

16. 设函数
（
为实常数）为奇函数，函数
．当
时，
对所有的
及
恒成立，则实数
的取值范围________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（本小题满分10分）计算：（Ⅰ）
；

(Ⅱ) 已知
，求值：

18．(本小题满分12分) 已知函数

（1）化简
的解析式，并写出
的最小正周期；

(2)求当
时，求函数
的值

19．（本小题满分12分）已知函数
.

（1）求函数
的单调递增区间；

（2）证明：当
时,
.

20.（本小题满分12分）已知△
的面积为
，且
,
.

（Ⅰ）若

的图象与直线
相邻两个交点间的最短距离为2，

且
，求△
的面积
；

（Ⅱ）求
的最大值．

21.（本小题满分12分）某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污染指数
与时刻
(时) 的关系为
,其中
是与气象有关的参数,且
.

(Ⅰ)令
,写出该函数的单调区间,并选择其中一种情形进行证明;

(Ⅱ)若用每天
的最大值作为当天的综合放射性污染指数,并记作
求
;

(Ⅲ)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过2,试问目前市中心的综合放射性污染

指数是否超标?

22．（本小题满分12分）已知函数
在其定义域内有两个不同的极值点.

（1）求
的取值范围；

（2）记两个极值点分别为
，且
，已知
，

若不等式
恒成立，求
的范围.

（3）证明：
．

成都外国语学校高2014级9月月考理科数学参考答案

一、选择题1． C【解析】因
,故
,应选C.考点：集合的交集运算.

2． A【解析】对于A，由于当
时一定有
，所以“
”是“
”的必要条件，又因为
时不能推出
，如
，所以所以 “
”是“
”的不充分条件，综上可知“
”是“
”的必要不充分条件，故可知选A. 考点：充分条件必要条件与命题的否定．

3． A【解析】
，故选A.考点：比较大小

4． B【解析】由题已知
为减函数，又
在
为减函数，则可得：，.,

，解得
的取值范围是（1，2）考点：复合函数的单调性.

5． D 【解析】因为
，因为
，所以
，
，所以
4，答案为D.考点：分段函数的应用.

6． A【解析】
，
，当
时，
，
递减，当
时，
，
递增，
，
，
，所以
值域为
．故选A．

考点：用导数求函数的值域．

7． D【解析】设
，则
是奇函数，由于
，即
，从而

，故选D.考点：函数的奇偶性．

8． C【解析】将函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的
倍得到函数
的图象，再向右平移
个单位长度，得到函数

，即
的图象，而
，则
图象的一条对称轴是
，故选C.

考点：三角函数的图象和性质及其变换．

9． A 【解析】令函数
,因
,故函数
是单调递增函数,且
,所以不等式
等价于
,故
,应选A. 考点：导数的有关知识及综合运用.

10． D

【解析】考点：三角函数的图象和性质及两角和的余弦公式的综合运用.

11. C考点：分段函数，函数的零点．

12． C【解析】因为
，则当
时，
恒成立，所以
在
上递增，不满足条件；当
时，由
得
，由
得
，所以
在
上递减，在
上递增．因为
有两个零点
，且
，所以
，
，所以
，解得
，所以A正确；因为
，所以
，设
，则
，因此
令
，则
，所以
，因此
B正确；
＝
，令
，则
，所以
，因此
，C错；又
在
上递减，在
上递增，所以
有极小值点
，由
得
，因此
，即
，所以
，所以D正确故选C．考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点；3、不等式性质．

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）

13.

【答案】
【解析】
.

14.【答案】2【解析】
，

考点：函数的性质

15.【答案】
【解析】因为

，从而可求得

展开式中的
项的系数为
，故答案填
.考点：定积分，二项式定理.

16.【答案】

【解析】由
得
，∴
．∵

在
上的最大值为
，

∴
即
在
上恒成立分令
，

即
所以
．

考点：（1）函数的奇函数．（2）指数函数的性质．（3）恒成立问题及函数思想．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17． 【答案】（Ⅰ）
； (Ⅱ)6.【解析】（Ⅰ）原式=
；

(Ⅱ)

18． 【答案】(Ⅰ)

函数
的最小正周期为
, 函数
的最大值为

(II)由
，得
，

所以当
时，求函数
的值域为

19．【解析】（1）
的定义域为
,
令
,得
,解得
,所以函数
的单调递增区间是
.

（2）令
,则
在
上恒成立, 所以
在
上单调递减,所以当
时,
, 即当
时,
.

20. （Ⅰ）
的图象与直线
相邻两个交点间的最短距离为T，

，即：
，解得
，
，
，

即：
，
B是△ABC的内角，

， 又
，

设△ABC的三个内角的对边分别为
，
，

，

从而△ABC是直角三角形，由已知
得，
，从而
，
.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，设
的外接圆半径为R，则
，解得

所以当
时，最大值为
考点：向量的数量积公式和正弦定理三角变换等有关知识的综合运用．

21.解:(1)单调递增区间为
;单调递减区间为
.

证明:任取
,
,

所以
.所以函数
在
上为增函数.(同理可证在区间
上减函数)

(2)由函数的单调性知
, ∴
,即
的取值范围是
. 当
时,记
则
∵
在
上单调递减,在
上单调递增,

且
.故
.

(3)因为当且仅当
时,
. 故当
时不超标,当
时超标.

22． 试题解析：（1）依题，函数
的定义域为
，所以方程
在
有两个不同根，即，方程
在
有两个不同根.转化为，函数
与函数
的图角在
上有两个不同交点，

可见，若令过原点且切于函数
图象的直线斜率为
，只须
.令切点
，

所以
，又
，所以
，解得，
，于是
，所以
.

（2）因为
等价于
.

由（1）可知
分别是方程
的两个根，即
.

所以原式等价于
，因为
，所以原式等价于
.

又由
，作差得，
，即
.所以原式等价于
，

因为
，原式恒成立，即
恒成立. 令
，
， 则不等式

在
上恒成立. 令
，又
，

当
时，可见
时，
，所以
在
上单调增，又
，

在
恒成立，符合题意.当
时，可见
时，
，
时，
，

所以
在
时单调增，在
时单调减，又
，所以
在
上不能恒小于0，不符合题意，舍去.综上所述，若不等式
恒成立，只须
，又
，所以
，所以
.

当
时，令
，则

当
时
，则
在
单调站递减，而
当
时
，则
在
单调站递减，又
所以当
时有

令
，有
，即

，①．

令
，有
②

①+②有：

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