成都市“五校联考”高2014级第五学期九月考试题

数学（文）

（全卷满分：150分 完成时间：120分钟）

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1．已知集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知函数
，则
是（ ）

A．最小正周期为
的奇函数 B．最小正周期为
的偶函数

C．最小正周期为
的奇函数 D．最小正周期为
的偶函数

3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知
，且
，则
为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．下列说法中，正确的是（ ）

A．命题“若
，则
”的否命题是假命题

B．设
为两不同平面，直线
，则“
”是 “
” 成立的充分不必要条件

C．命题“存在
”的否定是“对任意
”

D．已知
，则“
”是“
”的充分不必要条件

6．在等比数列
中，
，
则
等于（ ）

A．
或
B．
或
C．
D．

7．已知命题
：函数
在
上为增函数,
：函数
在
上为减函数，则在命题


和
中，真命题是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知
在一个周期内的图像如图所示，则
的图像可由函数
的图像（纵坐标不变）（ ）得到．

A．先把各点的横坐标缩短到原来的
倍，再向左平移
单位

B．先把各点的横坐标缩短到原来的
倍，再向右平移
单位

C．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移
单位

D．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，，再向左平移
单位

9．函数
是奇函数，且在
内是增函数，
，则不等式
的解集为（ ）

A．
B．

C．
D．

10. 设实数
满足
，则
的最大值为（ ）

A．
B．
C．12 D．14

11．已知
，若对?
∈0，3]，?
∈1，2]，使得
，则实数
的取值范围是（ ）

A．
，＋∞） B．（－∞，
] C．
，＋∞） D．（－∞，－
]

12．已知函数
满足
，且
分别是
上的偶函数和奇函数，若
使得不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13．若
是小于9的正整数
,
是奇数
，
是3的倍数
，则
．

14．若
，则
＝ ．

15．数列
满足
，且
，则数列
的通项公式
= ．

16．已知曲线
在点
处的切线与曲线
相切，则
．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．在
中，角
的对边分别为
，且
．

（1）求角
的值；

（2）若
边上中线
，求
的面积．

18．某车间将10名技工平均分为甲，乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如下表：

（1）分别求出甲，乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组技工的技术水平；

（2）质检部门从该车间甲，乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD
底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点．

（Ⅰ）证明PA//平面EDB；

（Ⅱ）求三棱锥A-BDP的体积．

20．已知
为圆
上的动点，点
，线段
的垂直平分线与半径
相交于点
，记点
的轨迹为
.

（1）求曲线
的方程；

（2）当点
在第一象限，且
时，求点
的坐标．

21．已知函数
．

（1）求
的单调区间和极值；

（2）求
在
上的最小值；

（3）设
+
，若对


有
恒成立，求实数
的取值范围．

请考生在22、23、24题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题给分。

22．选修4-1:几何证明选讲

如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．

（1）若CG=1，CD=4，求
的值．（2）求证：FG//AC；

23．选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.

（1）分别写出
的普通方程，
的直角坐标方程；

（2）已知
分别为曲线
的上，下顶点，点
为曲线
上任意一点，求
的最大值.

24．选修4-5：不等式选讲

已知

求
的解集；（2）若
-
恒成立，求
的取值范围．

成都市“五校联考”高2014级第五学期九月考

数学（文科）答案

AADCB ACBDA AB

13.
14.
15.
16. 8

17.（1）
,
由正弦定理，得
，
． ……………6分

（2）
，可知
为等腰三角形，在
中，由余弦定理，得
，即
……………10分

的面积
． ……………12分

18.（1）依题中的数据可得：

两组技工的总体水平相同，甲组中技工的技术水平差异比乙组大． ……………6分

（2）设事件
表示：该车间“质量合格”，则从甲，乙两种各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件为

，共25种，

事件
包含的基本事件有17种．

，即该车间“质量合格”的概率为
． ……………12分

19.证明：（Ⅰ）连接
交
于
，连接

∴
是正方形

∵
是
中点．又
是
中点，

∴
∥
，又∵
平面
，
平面
，

∥平面
……………6分

（Ⅱ）

……………12分

20.（1）圆
的圆心为
，半径等于
，由已知
于是
，

故曲线
是以
为焦点，以
为长轴长的椭圆，且

故曲线
的方程为
． ……………6分

（2）由点
在第一象限，
得

于是直线
方程为
. ……………10分

代入椭圆方程，消去
可得

由于点
在线段
上，所以点
的坐标为
． ……………12分

21.（1）
由
得
；当
时，
；当
时
；∴
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
，无极大值； ……………4分

（2）当
即
时，
在
上递增，∴
当

在1,2]上递减∴
；当
即
时，
在
上递减，在
递增，∴
；

……………8分

（3）
∴
，由

，当
时，
；当
时
，∴
在
递减，在（
）递增，故
，又∵
，∴当
时，
，∴
对

恒成立即等价于
又
对

恒成立．∴
，故
． ……………12分

22（1）由题意可得：
四点共圆，

．

∽
．
．

又

，

． ……………4分

（2）因为
为切线，
为割线，
，

又因为
，所以
，．

所以
，又因为
，所以
∽
，

所以
，又因为
，所以
，

所以
//
． ……………10分

23.（1）曲线
的普通方程为
，曲线
的普通方程为
………4分

（2）方法一：由曲线

，可得其参数方程为
，所以
点坐标为

由题意可知
，因此

所以当
时，
有最大值28．

因此
的最大值为
．

方法二：设点
，则
，由题意可知
．

因此

，所以当
时，
有最大值28．

因此
的最大值为
． ……………10分

24.（1）
当
时，
得
即得
；当
时，
得
即
；当
时，
得
，得-2>0无解；综上
，所以
的解集为
．

……………4分

（2）∵
如图：

又∵
且
，所以