成都市“五校联考”高2014级第五学期九月考试题

数学（理）

时间120分钟总分150分

命题人： 审题人：

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．

1．已知集合
，
为虚数单位，则下列选项正确的是

A．
B．
C．
D．

2．已知集合
，
，则
为

A．（1，2）B．（1，+∞）C．[2，+∞）D．[1，+∞）

3．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是

A．①③ B．②④

C．①② D．③④

4．已知
是定义在
上的偶函数，且在区间
上单调递增，

若实数
满足
，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

5．某流程图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数

A．
B．

C．
D．

6．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝

A．4 B．5 C．6 D．7

7．下列命题中是假命题的是

A．
，使函数
是偶函数;

B．
，使得
;

C．
，使
是幂函数，且在
上递减;

D．
．

8．若函数
的图象

如图所示，则

A．
B．

C．
D．

9．已知函数
的一条对称轴为直线
，则要得到函数
的图象，只需把函数
的图象

A．沿
轴向左平移
个单位，纵坐标伸长为原来的
倍

B．沿
轴向右平移
个单位，纵坐标伸长为原来的
倍

C．沿
轴向左平移
个单位，纵坐标伸长为原来的
倍

D．沿
轴向右平移
个单位，纵坐标伸长为原来的
倍

10．若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则
的最小值为（ ）

A .
B．
C．
D．

11．若点P是曲线
上任意一点，则点P到直线
的最小距离为

A．1 B．
C．
D．

12．已知函数
，其中
，若对
，

，使得
成立，则实数
的最小值为

A．
B．
C．6 D．8

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置）．

13．计算
__ ▲▲▲ ．

14．已知
，设函数
，

则
__ ▲▲▲ ．

15．若函数
的定义域为
，其值域为
，则这样的函数
有__ ▲▲▲ ．个．（用数字作答）

16．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边
上有10个不同的点
……
,则


=__ ▲▲▲ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）

17．（本小题满分12分）已知向量
，函数
．

（1）若
，
，求
的值；

（2）在
中，角
的对边分别是
，且满足
，求角B的取值范围．

18．（本小题满分12分）在一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下定义域为
的函数：

，

（1）现在从盒子中任意取两张卡片，记事件A为“这两张卡片上函数相加，所得新函数是奇函数”，求事件A的概率；

（2）从盒中不放回逐一抽取卡片，若取到一张卡片上的函数是偶函数则停止抽取，否则继续进行，记停止时抽取次数为
，写出
的分布列，并求其数学期望
．

19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．

（1）求证：BE∥平面PDF；

（2）求证：平面PDF⊥平面PAB；

（3）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小．

20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系
中，椭圆
的离心率
，且点
在椭圆
上．

（1）求椭圆
的方程；

（2）若点
、
都在椭圆
上，且
中点
在线段
（不包括端点）上．求
面积的最大值．

21．（本小题满分12分）

已知函数

．

（1）若曲线
过点
，求曲线
在点
处的切线方程；

（2）求函数
在区间
上的最大值；

（3）若函数
有两个不同的零点
，求证：

请考生在第22～24三题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分．

22、(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，AB为圆
的直径，P为圆
外一点，过P点作PC
AB于C，交圆
于D点，PA交圆
于E点，BE交PC于F点．

（1）求证：
P=
ABE；

（2）求证：CD2=CF·CP．

23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，以原点
为极点，
轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为
（
为参数），曲线C2的极坐标方程为：
，若曲线C1与C2相交于A、B两点．

（1）求|AB|的值；

（2）求点
到A、B两点的距离之积．

24．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
．

（1）若
，求不等式
的解集；

（2）若方程
有三个不同的解，求
的取值范围．

2017届高三数学五校联考（理科数学）

参考答案

一.选择:（12×5=60）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

A

C

A

B

D

D

A

C

B

D



二：填空(4×5=20)

13. 2 14 5 15. 243 16. 180

三、解答题（本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）

17. 解：（Ⅰ）

=
………2分

，又
……4分

………6分

（Ⅱ）由
得
…………………8分

………10分

………12分

18． 解：（1）由题意得
是奇函数，
为偶函数，
为非奇非偶函数，所以P（A）=
………………（4分）

（2）由题意可知，
的所有可能取值为1,2,3,4

P（
）=
,P（
2）=

,P（
）=
=
,

P（
）=
………………（8分）

所以
的分布列为：

1

2

3

4



P











………………（10分

所以E
=1
+

+3

+4

=
。………………（12分）

19． 解：（Ⅰ）证明：取PD中点为M，连ME，MF．

∵E是PC的中点∴ME是△PCD的中位线，

∴ME平行且等于
．∵F是AB中点且ABCD是菱形，∴AB平行且等于CD，∴ME平行且等于
．

∴ME平行且等于FB∴四边形MEBF是平行四边形．从而BE∥MF．

∵BE?平面PDF，MF?平面PDF，

∴BE∥平面PDF．……………………（4分）

（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，

∴DF⊥PA．连接BD，

∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB为正三角形．

∵F是AB的中点，∴DF⊥AB．

∵PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB．

∵DF?平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．……………………（8分）

（Ⅲ）解：建立如图所示的坐标系，则P（0，0，1），C（
，3，0），D（0，2，0），

F（
，
，0）由（Ⅱ）知DF⊥平面PAB，

∴
是平面PAB的一个法向量，设平面PCD的一个法向量为

由
，且由

在以上二式中令
，则得x=﹣1，
，

∴
．设平面PAB与

平面PCD所成锐角为θ，则cosθ=
=

故平面PAB与平面PCD所成的锐角为60°．……………………（12分）

20． 解：（1）由题意得：
………2分

所以椭圆C的方程为
………4分

（2）①法一、设
，直线AB的斜率为

则

………6分

又直线
:
,
在线段
上, 所以
所以
………8分

法二、设
，直线AB的方程为
，

则

由题意，
所以
………6分

又直线
:
,
在线段
上,

所以
，所以
………8分

法三、设
，直线AB的方程为

则

由题意，
所以
………6分

又直线
:
,
在线段
上,

所以


在直线
上

解


得：
………8分

设直线AB的方程为
，

则
，所以
………9分

所以
,原点到直线的距离
…10分

当且仅当
时，等号成立.，所以
面积的最大值
…12分

21． 解：（1）因为点P（1，﹣1）在曲线y=f（x）上，所以﹣m=﹣1，解得m=1．

因为f′（x）=
﹣1=0，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y=﹣1．……（3分）

（2）因为f′（x）=
﹣m=
．

①当m≤0时，x∈（1，e），f′（x）＞0，所以函数f（x）在（1，e）上单调递增，

则f（x）max=f（e）=1﹣me．

②当
≥e，即0＜m≤
时，x∈（1，e），f′（x）＞0，

所以函数f（x）在（1，e）上单调递增，则f（x）max=f（e）=1﹣me．

③当1＜
＜e，即
＜m＜1时，

函数f（x）在（1，
）上单调递增，在（
，e）上单调递减，

则f（x）max=f（
）=﹣lnm﹣1．

④当
≤1，即m≥1时，x∈（1，e），f′（x）＜0，

函数f（x）在（1，e）上单调递减，则f（x）max=f（1）=﹣m．

综上，①当m≤
时，f（x）max=1﹣me；

②当
＜m＜1时，f（x）max=﹣lnm﹣1；

③当m≥1时，f（x）max=﹣m．……（8分）（分类时，每个1分，综上所述1分）

（3）不妨设x1＞x2＞0．

因为f（x1）=f（x2）=0，所以lnx1﹣mx1=0，lnx2﹣mx2=0，

可得lnx1+lnx2=m（x1+x2），lnx1﹣lnx2=m（x1﹣x2）．

要证明x1x2＞e2，即证明lnx1+lnx2＞2，也就是m（x1+x2）＞2．

因为m=
，所以即证明
＞
，

即ln
＞
．令
=t，则t＞1，于是lnt＞
．

令
（t）=lnt﹣
（t＞1），则
′（t）=
﹣
=
＞0．

故函数
（t）在（1，+∞）上是增函数，

所以
（t）＞
（1）=0，即lnt＞
成立．所以原不等式成立．…（12分）

请考生在第22～24三题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分．

22、证明：（Ⅰ）
，所以在
中，
在
中,
所以
……………………………….5分

（Ⅱ）在
中，
，由①得
∽
,∴
,

∴

,所以CD2=CF·CP。………………….10分

23． 解：(Ⅰ)