合肥一中2017届高三上学期第一次月考

数学（理）试卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合
，
，
，则
中元素的个数为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

2.幂函数
经过点
，则
是（ ）

A．偶函数，且在
上是增函数

B．偶函数，且在
上是减函数

C．奇函数，且在
上是减函数

D．非奇非偶函数，且在
上是增函数

3.已知条件
，条件
，则
是
的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要

4.已知函数
（
且
）的图象恒过定点
，则点
的坐标是（ ）

A．
B．
C．
D．

5.函数
的定义域为（ ）

A．
B．
C．
D．

6.设命题
函数
在定义域上为减函数，命题
，当
时，
，以下说法正确的是（ ）

A．
为真 B．
为真 C．
真
假 D．
均假

7.函数
的图象可能是（ ）

8.已知定义在
上的奇函数
满足
，当
时，
，则
（ ）

A．
B．
C．-1 D．

9.若
为偶函数，则
的解集为（ ）

A．
B．
C．
D．

10.函数
的值域为
，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

11.设函数
是定义在
上的可导函数，其导函数为
，且有
，则不等式
的解集为（ ）

A．
B．
C．
D．

12.设函数
，
，若实数
分别是
的零点，则（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.命题：“若
，则
”的否命题是 .

14.函数
的单调递增区间是 .

15.函数
的值域是 .

16.若函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是 .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知
，
，若
是
的充分而不必要条件，求实数
的取值范围.

18. 已知函数
在
上有最小值1和最大值4，设
.

（1）求
的值；

（2）若不等式
在
上有解，求实数
的取值范围.

19. 设函数
.

（1）求
的极值；

（2）若
，当
时，
在区间
内存在极值，求整数
的值.

20.已知函数
.

（1）若
，求函数
在
处切线方程；

（2）讨论函数
的单调区间.

21. 市场上有一种新型的强力洗衣粉，特点是去污速度快，已知每投放
（
且
）个单位的洗衣粉液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度
（克/升）随着时间
（分钟）变化的函数关系式近似为
，其中
，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起有效去污的作用.

（1）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可能达几分钟？

（2）若先投放2个单位的洗衣液，6分钟后投放
个单位的洗衣液，要使接下来的4分钟中能够持续有效去污，试求
的最小值（精确到0.1，参考数据：
取
）.

22.已知函数
，
，（
为自然对数的底数），且曲线
与
在坐标原点处的切线相同.

（1）求
的最小值；

（2）若
时，
恒成立，试求实数
的取值范围.

参考答案

一、选择题

BDAAC DBACA BA

二、填空题

13. 若
，则
14.
15.
16.

三、解答题

17.（10分）解不等式
，得：
；

解不等式
，得：
.

故
，解得
.

（2）由（1）知，
，∴
，

∴
可化为
，令
，则
，

∵
，∴
，

∴
，所以
的取值范围是
.

19.（12分）（1）
，令
，解得
（-2舍去），

根据
的变化情况列出表格：

由上表可知函数
的单调增区间为
，递减区间为
，在
处取得极大值
，无极小值.

（2）
，

，

令
，∴
，∵
，∴
恒成立，

所以
在
为单调递减函数，

∵
，
，
，
.

所以
在
上有零点
，且函数
在
和
上单调性相反，

因此，当
时，
的区间
内存在极值，所以
.

20.（1）
，故切线斜率
，
，

所以，切线方程
.

（2）令
，
，

当
时，
在
上为增函数，在
上为减函数，

当
时，
在
，
上为增函数，在
上为减函数

当
时，
在
上恒为增函数

当
时，
在
，
上为增函数，在
上为减函数

21.（1）由题意知有效去污满足
，则
或

得
，所以有效去污时间可能达8分钟.

（2）
，
，
，

令
，
，

∴
，若令
，
，

又
，

所以
的最小值为1.6.

22.（12分）（1）因为
，
，

依题意，
，且
，解得
，

所以
，当
时，
；当
时，
.

故
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.

∴当
时，
取得最小值为0.

（2）由（1）知，
，即
，从而
，即
.

设
，

则
，

（1）当
时，因为
，∴
（当且仅当
时等号成立）

此时
在
上单调递增，从而
，即
.

（2）当
时，由于
，所以
，

又由（1）知，
，所以
，故
，

即
.（此步也可以直接证
）

（3）当
时，令
，则
，

显然
在
上单调递增，又
，
，

所以
在
上存在唯一零点
，

当
时，
，∴
在
上单调递减，

从而
，即
，所以
在
上单调递减，

从而当
时，
，即
，不合题意.

综上，实数
的取值范围为
.

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