山东省实验中学2017届高三第一次诊断性考试

数学（理科）试题

2016．9

说明：试题分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷为第1页至第2页，第II卷为第3页至第5页．试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上。书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟．

第I卷 (共50分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题只有一个选项符合题意)

1.已知集合
，则

A.
B.
C.
D.

2.记复数z的共轭复数为
，若
，则复数z的虚部为

A.i B.1 C.
D.

3.函数
的图象可由函数
的图象

A.向左平移
个单位长度而得到 B. 向右平移
个单位长度而得到

C.向左平移
个单位长度而得到 D. 向右平移
个单位长度而得到

4.高三学生体检，某班级随机抽取5名女学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）的数据如下表：

根据上表可得回归直线方程为
，则

A.
B.96.8 C.
D.104.4

5.如图给出的是计算
的值的程序框图，其中判断框内应填入的是

A.
B.

C.
D.

6.现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，问这样的分法有（ ）种

A.36 B.9 C.18 D.15

7.下列说法正确的是

A.若
，则“
”是“
”的必要不充分条件

B.“
为真命题”是“
为真命题”的必要不充分条件

C.若命题
，则
是真命题

D.命题“
”的否定是“

8.已知一个四棱锥的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为

A.
B.
C.
D.

9.已知直线
，直线
，其中
.则直线
的交点位于第一象限的概率为

A.
B.
C.
D.

10.已知定义在R上的偶函数
满足
，且
时，
，则
的零点个数是

A.9 B.10 C.18 D.20

第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）

11.已知函数
__________.

12.由直线
与曲线
所围成的封闭图形的面积为________.

13.二项式
展开式中，
项的系数为__________.

14.已知不等式组
的最大值为_________.

15.过双曲线
的右焦点F作渐近线的垂线，设垂足为P（P为第一象限的点），延长FP交抛物线
于点Q，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若
则双曲线的离心率的平方为________.

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

16.（本小题满分12分）

在
中，
分别是角A,B,C的对边，
.

（I）求角B；

（II）求边长b的最小值.

17. （本小题满分12分）

在研究寨卡病毒（Zika virus）某种疫苗的过程中，为了研究小白鼠连续接种该种疫苗后出现Z症状的情况，做接种试验.试验设计每天接种一次，连续接种3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现Z症状的概率为
，假设每次接种后当天是否出现Z症状与上次接种无关.

（I）若出现Z症状即停止试验，求试验至多持续一个接种周期的概率；

（II）若在一个接种周期内出现2次或3次Z症状，则这个接种周期结束后终止试验，试验至多持续3个周期.设接种试验持续的接种周期为
，求
的分布列及数学期望.

18. （本小题满分12分）

已知等比数列
的前n项和为
，公比
.

（I）求数列
的通项公式；

（II）设
的前n项和

19. （本小题满分12分）

如图，四棱锥
的底面是边长为1的正方形，
底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点.

（I）求证：EF//平面PAD；

（II）若
，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角Q-AP-D的余弦值为
？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由.

20. （本小题满分13分）

已知椭圆
的右焦点F（1，0），过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P，Q两点，当直线PQ经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60°.

（I）用椭圆C的方程；

（II）设O为坐标原点，线段OF上是否存在点
，使得
？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，说明理由.

21. （本小题满分14分）

已知函数
.

（I）求函数
的单调区间；

（II）若
恒成立，试确定实数k的取值范围；

（III）证明：
.

山东省实验中学2017届高三第一次诊断性考试

数学（理科）参考答案 2016．9

一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分）

1-10 DDAAC BA CAC

二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）

11.
12．
13.
14.3 15.

三、解答题（本大题共6小题，共75分）

16. （本小题满分12分）

解：（I）由已知
即

…………………………………………………4分

△
中，
，故
……………………………6分

（Ⅱ）由（I）

因此
………………………………9分

由已知
……………………………………10分

……………………………………11分

故
的最小值为1. ………………………………………………………12分

17．（本小题满分12分）

（Ⅰ）试验至多持续一个接种周期的概
…5分

（Ⅱ）随机变量
设事件
为“在一个接种周期内出现2次或3次
症状”，则

所以
的分布列为：

1

2

3













 10分

的数学期望

18. (本题满分12分)

（1）由已知
① ，
②，

①-②得
即
……………………2分

又
……………………3分

……………5分

……………………6分

（2）由（1）知
……………7分

.................9分

错位相减

............11分

.....................12分

19．（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）取PD中点M，连接MF、MA，

在△PCD中，F为PC的中点，∴
，

正方形ABCD中E为AB中点，∴
，∴
，

故四边形EFMA为平行四边形，∴EF∥AM，

又∵EF?平面PAD，AM?平面PAD，

∴EF∥平面PAD； …………4分

（Ⅱ）结论：满足条件的Q存在，是EF中点．理由如下：

如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，

则P（0，0，2），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0，
，0），F（
，
，1），……5分

由题易知平面PAD的法向量为
=（0，1，0）， …………6分

假设存在Q满足条件：设
， …………7分

∵
，∴
，
，λ∈，

设平面PAQ的法向量为
，

由
，可得
， …………9分

∴
， …………10分

由已知：
，解得：
， …………11分

所以满足条件的Q存在，是EF中点． …………12分

20. (本题满分13分)

解：（1）由题意知
，又
，所以
， ……………2分

，所以椭圆的方程为：
； ……………4分

（2）设直线
的方程为：
，代入
，得：

，设
，线段
的中点为
，

则
， ……………7分

由
得：
，

所以直线
为直线
的垂直平分线，

直线
的方程为：
， ……………9分

令
得：
点的横坐标
， ……………10分

因为
， 所以
，所以
. ……………12分

所以线段
上存在点
使得
，其中
. ……………13分

21.（本小题满分14分）

（I）∵f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，（x＞1）

∴f′（x）=
﹣k， …………1分

当k≤0时，f′（x）＞0恒成立，故函数在（1，+∞）为增函数， …………2分

当k＞0时，令f′（x）=0，得x=

当f′（x）＜0，即1＜x＜
时，函数为减函数，

当f′（x）＞0，即x＞
时，函数为增函数， …………4分

综上所述，当k≤0时，函数f（x）在（1，+∞）为增函数，

当k＞0时，函数f（x）在（1，
）为减函数，在（
，+∞）为增函数．

（Ⅱ）由（1）知，当k≤0时，f′（x）＞0函数f（x）在定义域内单调递增，f（x）≤0不恒成立， …………6分

当k＞0时，函数f（x）在（1，
）为减函数，在（
，+∞）为增函数．

当x=
时，f（x）取最大值，f（
）=ln
≤0 …………8分

∴k≥1，即实数k的取值范围为[1，+∞） …………10分

（Ⅲ）由（2）知k=1时，f（x）≤0恒成立，即ln（x﹣1）＜x﹣2

∴
＜1﹣
， …………11分

∵
=
=
＜
=
…………12分

取x=3，4，5…n，n+1累加得 …………13分

∴
+…+
＜
+
+
+…+
=
，（n∈N，n＞1）.……14分

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