中山一中2017届高三第一次统测

文科数学试题

满分150分，时间120分钟 命题人: 审题人：

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母填在答案卷指定的位置上。）

1. 设全集为R，集合A=
，B=
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2. 已知命题

使
；命题
，则真命题的是 （ ）

A.
B.
C.
D.

3. “
”是 “
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4. 若椭圆
的离心率为
，则双曲线
的渐近线方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

5. 设
为表示不超过
的最大整数,则函数
的定义域为 ( )

A.
B.
C.
D.

6. 已知定义域为
的函数
满足
,且对任意
总有
, 则不等式
的解集为( )

A.
B.
C.
D.

7. 已知函数
（
）的图象在
处的切线斜率为
（
），且当
时，其图象经过
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 设函数

，则
是（ ）

A.奇函数，且在
上是增函数 B.奇函数，且在
上是减函数

C.偶函数，且在
上是增函数 D.偶函数，且在
上是减函数

9. 过抛物线
的焦点
作直线交抛物线于
、
两点，如果
，那么
＝（ ）

A.
B.
C.
D.

10. 已知函数
，则函数
的大致图象是（ ）

11. 如果函数


在区间
上单调递减，那么
的最大值为（ ）

A.16 B.18 C.25 D.

12．已知函数
是定义域为
的偶函数．当
时，
若关于
的方程
（
），有且仅有6个不同实数根，则实数
的取值范围是（　）

A．
B．

C．
D．
或

二、填空题：（本题共4小题，每题5分共20分，答案填在答案卷指定的位置上）

13. 设
是周期为2的奇函数，当
时，

,则
．

14. 已知幂函数
在区间
上单调递减，则实数
的值为 ．

15. 已知函数
，若函数
有且仅有两个零点，

则实数
的取值范围是 .

16. 记
为区间
的长度．已知函数
，

(
)，其值域为
，则区间
的长度的最小值是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分。

17.（本题12分）

已知
，
，
是
的非空子集，求实数
的值。

18.（本题12分）

已知命题
：实数
满足
；命题
：实数
满足
，若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围.

19.（本小题满分12分）

某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R(x)满足R(x)=
．假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律.

（1）要使工厂有盈利，产品x应控制在什么范围？

（2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
：
与抛物线
：
有相同焦点
．

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）已知直线
过椭圆
的另一焦点
，且与抛物线
相切于第一象限的点
， 设平行
的直线
交椭圆
于
两点，当△
面积最大时，求直线
的方程．

21. （本小题满分12分）

已知函数
.

（1）求函数
的极值；

（2）若函数
在定义域内为增函数，求实数
的取值范围；

(3)设
，若函数
存在两个零点
，且
，问：函数
在
处的切线能否平行于
轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由.

选做题：请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分．

做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图所示,已知圆
外有一点
,作圆
的切线
,
为切点,过
的中点
,作割线
,交圆于
、
两点,连接
并延长,交圆
于点
,连接
交圆
于点
,若
.

（1）求证:△
∽△
;

（2）求证:四边形
是平行四边形.

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，圆C的参数方程为：

．以
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）直线
的极坐标方程是
，射线
与圆C的交点为O、P，与直线
的交点为Q，求线段
的长．

24. （本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

设函数
=
，
.不等式
的解集为
.

（1）求
； （2）当
时，证明:
．

高三第一次统测文科数学参考答案

一、选择题（每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

D

B

A

A

D

B

A

B

D

B

C





二、填空题（每小题5分，共20分）

13.
； 14.
； 15.
； 16.
.

17．解：由已知，


是
的非空子集
或
或
……5分

若
，则有
解得
………7分

若
，则有

………9分

若
，由韦达定理可得
， 解得
………11分

综上，所求实数
的值为
或
。………………………12分

18．解：

19．解：依题意，G（x)=x+2,设利润函数为f(x),则

………………………4分

（1）要使工厂有赢利，则有f(x)>0.

当0≤x≤5时，有–0.4x2+3.2x–2.8>0,得1

当x>5时，有8.2–x>0,得x<8.2, ∴5

综上，要使工厂赢利，应满足1

（2）0≤x≤5时，f(x)=–0.4(x–4)2+3.6

故当x=4时，f(x)有最大值3.6. 而当x>5时f(x)<8.2–5=3.2

所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，此时只须求x=4时，每台产品售价为
=2.4（万元/百台）=240（元/台） ………………………12分

20．解：（1）
抛物线
的焦点为
，

，又

椭圆方程为
． ………4分

（2）
，由已知可知直线
的斜率必存在，设直线

由
消去
并化简得

∵直线
与抛物线
相切于点
.

∴
，得
. …………5分

∵切点
在第一象限.∴
………6分

∵
∥
∴设直线
的方程为

由
，消去
整理得
， ……7分

，解得
.

设
，
，则
，

. …8分

又直线
交
轴于

………………10分

当
，即
时，
. ……11分

所以，所求直线
的方程为
. ……………12分

21. 解：（1）由已知,
……………,1分

令
=0, 得
,

∴
在
单调递增，在
单调递减，在
单调递增…………….3分

∴
,
…………………4分

（2）
由题意，

知
恒成立，即
. …………………6分

又
，当且仅当
时等号成立.

故
，所以
. …………………8分

（3）假设函数
在
处的切线平行于
轴，
依题意，

,相减得

, 又
,

所以
设
，

设
，

所以函数
在
上单调递增，因此，当
时，
，

即
也就是
，所以
无解.

所以
在
处的切线不能平行于
轴. ……12分

22. 证明:：（1）∵
是圆
的切线,
是圆
的割线,
是
的中点,

∴
, ∴
,

又∵
, ∴△
∽△
,

∴
, 即
.

∵
, ∴
, ∴
,

∴△
∽△
. ……………………………………5分

（2）∵
,∴
,即
,

∴
, ∵△
∽△