中山一中2017届高三第一次统测

理科数学试题

命题人: 审题人:

全卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合
，
，若
，则实数
的值是（ ）

A．
B．
，
C．
，
D．
，
，

2.已知
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

3.以下选项中的两个函数不是同一个函数的是（ ）

A.
B.

C.
D.

4.已知幂函数
的图像过点
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

5.设
为定义在R上的奇函数，当
时，
（
为常数），则
（ ）

A．3 B．1 C．
D．

6.设函数

，则

（ ）

A.
B.
C.
D.

7.方程
的解所在的区间是（ ）

A.
B.
C.
D.

8.设

，则
的大小关系是（ ）

A.
B.
C.
D.

9.函数
的图像大致是（ ）

10.下列有关命题的说法正确的是（ ）

A. 命题“若
，则
”的否命题为“若
，则
”

B. “
”是“
”的必要而不充分条件

C. 命题“
，使得
”的否定是“
，均有
”

D. 命题“若
，则
”的逆否命题为真命题

11.已知关于
的方程
，在
上有根，则实数
的取值范围为( )

A.
B.
C.
D.

12.设集合
，在
上定义运算
：
，其中
为
被3除的余数，
，则使关系式
成立的有序数对
总共有( )

A. 1对　　　　 B. 2对　　　　 C. 3对　　　　 D. 4对

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.已知函数
定义域为
，则函数
的定义域为 .

14.已知函数
是定义在
上的奇函数，对任意实数
有
，当
时，
，则
__________.

15.设函数
，则不等式
的解集是 .

16.已知函数

，
.对于不相等的实数
，设

.现有如下命题：①对于任意不相等的实数
，都有
；②对于任意的
及任意不相等的实数
，都有
；③对于任意的
，存在不相等的实数
，使得
；④对于任意的
，存在不相等的实数
，使得
.其中的真命题有 (写出所有真命题的序号）.

三、解答题：本题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）已知函数
.

（1）若函数
定义域为
，求实数
的取值范围；

（2）若函数
值域为
，求实数
的取值范围.

18.（本小题满分12分）已知命题
：
，命题
：
，
，若“

”为真命题，求实数a的取值范围．

19.（本题满分12分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2＋）x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．

（1）试写出y关于x的函数关系式；

（2）当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

20.（本题满分12分）已知函数
（
且
）．

（1）证明函数
在
上为增函数；

（2）设函数
，若
在 [2，5]上单调，且在该区间上
恒成立，求实数m的取值范围．

21.（本小题满分12分）

已知函数

(1)若
且函数
的值域为
，求
的表达式；

(2)在(1)的条件下， 当
时，
是单调函数， 求实数
的取值范围；

(3)设
，

且
为偶函数， 判断
＋
能否大于零?

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，解答时请写清题号.

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知
与圆
相切于点
，半径
，

交
于点
．

（Ⅰ）求证：
；（Ⅱ）若圆
的半径为3，
，求
的长度．

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线
：
（
为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）将曲线
的参数方程化为普通方程，将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设
为曲线
上的点，点
的极坐标为
，求
中点
到曲线
上的点的距离的最小值．

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知
，对
，
，

恒成立，

（Ⅰ）求

的最小值； （Ⅱ）求x的取值范围．

提示：本答案及得分标准仅供参考，若有不同方法，酌情给分，得分标准同小组商定统一即可，谢谢！

选择： DADADC CCDDBC

填空：
-2
①④

17. （本小题满分12分）

解：（1）∵
的定义域为

∴
都有
恒成立………………2分

则
解得
.………………5分

∴使得函数
的定义域为
的实数
的取值范围是
……………6分

（2）∵
的值域为

∴
能取到大于0的所有实数………………8分

则
解得
.………………11分

∴使得函数
的值域为
的实数
的取值范围是
………………12分

18. （本小题满分12分）

解：由“

”为真命题，则
，
都是真命题． ………………2分

：
在
上恒成立，只需
，所以命题
：
； ………………6分

：
，
，只需
，

即

，所以命题
：
.………………10分

由
得
或

故实数a的取值范围是
或
………………12分

19. （本小题满分12分）

解：（1）设需要新建
个桥墩，则
，即
（
），

所以

（
）．……………………5分

（2）由（1）知
， …………………………………7分

令
，得
，所以
．

当
时，
，
在区间
内为减函数；当
时，
，

在区间
内为增函数，……………………………………10分

所以
在
处取得最小值，

此时，
．

故需新建9个桥墩才能使
最小． ……………………………………………12分

20. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设
， …………1分

（
）（
） …………3分

∵
，
， ∴
＜0,
＞0 …………4分

∴
， ∴函数
在
上为增函数． …………5分

（Ⅱ）

对称轴
， …………7分

①
在[2，5]上单调递增且

…………9分

②
在[2, 5]上单调递减且

无解 …………11分

又
，综上所述
…………12分

21. （本小题满分12分）

解：（1） ∵
, ∴
又
恒成立,

∴
, ∴
,