中山一中2017届高三第二次统测数学（文科）试题

满分150分，时间120分钟 组题人: 审题人：

一、选择题：（每题5分，共60分.每个小题只有一个选项符合题目要求.）

1. 已知集合
，
，则
=

A．
B．
C．
D．

2. 在平行四边形
中，
为一条对角线，
，
，则
＝

A．（2,4） B．（3,5） C．（1，1） D．（－1，－1）

3. 设
, 则

A．
B．
C．
D．

4.在
中，“
”是“
”的（　　）条件

A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要

5. 已知抛物线
的准线与椭圆
相切，则
的值为

A．
B．
C．
D．

6. 已知
，
，则使
成立的一个充分不必要条件是

A．
B．
C．
D．

7. 要得到函数
的图象，只需将函数
的图象向（ ）平移（ ）个单位

A．左，
B．右；
C．左，
D．右，

8. 函数
的图象大致为

9. 若
，且
，则

A．
B．
C．
D．

10. 椭圆
的左焦点为
，若
关于直线
的对称点
是椭圆

上的点，则椭圆
的离心率为

A．
B．
C．
D．

11. 已知
为定义在
上的函数
的导函数，且
在
上恒成立，则

A．
B．

C．
D．

12. 已知
,直线
与函数
的图象在
处相切，设
,若在区间
上，不等式
恒成立，则实数
有

A．最大值
B．最大值
C．最小值
D．最小值

二、填空题：（每题5分，共20分）

13．已知向量
的夹角为
，且
，
，则
．

14．已知
，则
.

15．函数
的部分图象如右图所示，则
.

16．已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，给出下列命题：

① 当
时，
； ② 函数
有
个零点；

③
的解集为
； ④
，都有
．

其中正确的命题是 ．

三、解答题：(共8个小题．只做6个小题；共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

17.（12分）某同学用“五点法”画函数
在某一个周期内的图

象时，列表并填入了部分数据，如下表：

ωx＋φ

0



π



2π



x













Asin(ωx＋φ)

0

5



－5

0



(1) 请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；

(2) 将
图象上所有点向左平行移动
个单位长度，得到
的图象，求

的图象离原点O最近的对称中心．

18．（12分）已知向量
设函数
．

（1）求函数
的单调递减区间；

（2）设
分别是
内角
的对边，若
，
，求
的值.

19．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用
(单位：万元)与隔热层厚度
(单位：cm)满足关系
，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设
为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1) 求
的值及
的表达式；

(2) 隔热层修建多厚时，总费用
达到最小，并求最小值．

20．（12分）已知椭圆
：
的离心率为
，以原点
为圆心，椭圆
的长半轴为半径的圆与直线
相切．

(1) 求椭圆
的标准方程；

(2) 已知点
，
为动直线
与椭圆
的两个交点，问：在
轴上是否存在点
，

使
为定值？若存在，试求出点
的坐标和定值，若不存在，请说明理由．

21．（12分）已知函数
.

（1）
在
的切线与直线
平行，求
的值；

（2）不等式
对于
的一切值恒成立，求实数
的取值范围.

请考生在以下（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．

22．(10分)选修4—1：几何证明选讲 如图，直线
经过圆
上的点
，并且
，圆
交直线
于点
，其中
在线段
上．连结
，
．

(1) 证明：直线
是圆
的切线；

(2) 若
，圆
的半径为
，求
的长．

23．(10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知平面直角坐标系
，以
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，
点的极坐

标为
，曲线
的参数方程为
（
为参数）.

（1）写出点
的直角坐标及曲线
的直角坐标方程；

（2）若
为曲线
上的动点，求
中点
到直线
的距离的最小值.

24. (10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数
．

（1）当
时，求不等式
的解集；

（2）设函数
，当
时，
，求
的取值范围．

中山一中2017届高三第二次统测数学（文科） 参 考 答 案

一、选择题： A C B C A B D D A D C B

二、填空题： 13.
； 14.
； 15.
； 16. ③ ④.

【部分提示】： 10. 设椭圆的右焦点为
，
与直线
的交点为
．可知：

；
为(
的)直角三角形；于是有：
．

11. 设
，可知
在
上递增．

12. 由
可得：
；
，
；

∴
或
．

15. 由图可知
，
， ∴
．

16. 求解析式及函数图像可知：
且
．

三、解答题：

0



























0

5

0



0



 17. 解： (1)

由上表可得： f (x)＝5sin． ………………………………………6分

(2)由(1)知：f(x)＝5sin，因此g(x)＝5sin＝5sin． ……………………8分

因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z．

令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z． 即y＝g(x)图象的对称中心为，k∈Z，

∴ y＝g(x)图象离原点O最近的对称中心为． ……………………12分

18. 解：（1）

，当
即
时
递减．

单减区间是
． ……………………6分

（2）由（1）知
得
得：

．又
，

． ……………………12分

19. 解：（1）由已知条件得C(0)＝8，则k＝40， ………………………………………2分

f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋(0≤x≤10)． ……………………5分

(2) f(x)＝6x＋10＋－10≥2－10＝70(万元)，（也可以利用导求最小值）．

当且仅当6x＋10＝，即x＝5时等号成立． ……………………11分

当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．………………12分

20. 解：(1) 由e＝，得 ＝，即c＝a ① 又因为以原点O为圆心，

椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2＋y2＝a2，且与直线2x－y＋6＝0相切，

a＝＝，代入①得c＝2，所以b2＝a2－c2＝2.

椭圆的方程为＋＝1. ……………………………………………………