中山一中2017届高三第二次统测理科数学试题

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、设A、B是非空集合，定义A×B={
且
}，己知

A={
}，B={
}，则A×B等于 （ ）

A.(2，+∞) B.[0，1]∪[2，+∞) C.[0，1)∪(2，+∞) D.[0．1]∪(2，+∞)

2、在
中，“
”是“
是直角三角形”的（ ）

A．充分必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3、已知命题 p：对任意x∈R，总有

；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．

则下列命题为真命题的是 (　　)

A．
　　　　　　　　　 B．

C．
D．

4、已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是 (　　)

5、已知复数为纯虚数，则实数a＝(　　)

A．－2 B．4 C．－6 D．6

6、已知a＝5log3.4，b＝5log3.6，c＝，则(　　)

A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b

7、在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)

A．②④ B．①③④

C．①②③ D．①③

8、函数
的部分图象如图所示，则
的值分别是（ ）

A．
B．

C．
D．

9、已知函数
的图象如图所示，其中
为函数
的导函数，则
的大致图象是（ ）

10、已知函数
，若
R，且
，使得
，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

11、已知函数
是定义在
上的奇函数，若
为
的导函数，对
，总有
，则
的解集为（ ）

A．
B．
C．R D．

12.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)

A．240(－1)m B．180(－1)m

C．120(－1)m D．30(＋1)m

第Ⅱ卷 （非选择题）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.

13、由抛物线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2及x轴围成的图形面积为________．

14、 = .

15、在
中，
为
的中点，则有
，将此结论类比到四面体中，可得一个类比结论,在四面体
中，
为
的重心，有______ ．

16、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17、（本小题满分12分）在平面直角坐标系
中，设锐角
的始边与
轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点
，将射线
绕坐标原点
按逆时针方向旋转
后与单位圆交于点
. 记
.

(1)求函数
的值域；

(2)设
的角
所对的边分别为
，若
，且
，
，求
.

18、（本小题满分12分）已知函数
，其图像与
轴相邻两个交点的距离为
．

（1）求函数
的解析式；

（2）若将
的图像向左平移
个长度单位得到函数
的图像恰好经过点（
），求当
取得最小值时，
在
上的单调递增区间．

19、（本小题满分12分）在
中，角A、B、C所对的边分别为
，且满足
．求：

（1）求
的值；

（2）若
，求ΔABC的周长
的取值范围

20、（本小题满分12分）已知函数
（
）

（1）求函数
的单调区间；

（2）当
时，求
在
上的最大值和最小值（
）

21、（本小题满分12分）已知函数
,（其中
R,
为自然对数的底数）.

(1)当
时,求曲线
在
处的切线方程；

(2)当
时,若关于
的不等式
恒成立,求实数
的取值范围.

请考生在22题，23题，24题三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22、（本小题满分10分）选修4---1几何证明选讲

如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,
OA为半径作圆.

(1)证明：直线AB与
O相切；

(2)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明：AB∥CD.

23、（本小题满分10分）选修4----4坐标系与参数方程

已知圆
，曲线
（
为参数）.

（1）化圆
和曲线
的方程为普通方程；

（2）过圆
的圆心
且倾斜角为
的直线
交曲线
于
两点，求圆心
到
两点的距离之积.

24、（本小题满分10分）选修4----5不等式选讲 已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，

求证：(1)(－1)·(－1)·(－1)≥8； (2)＋＋≤.

中山一中2017届高三第二次统测理科数学试题参考答案

一、选择题： ABDDDC CABBAC

二、13．2； 14．－4.； 15．
； 16．－8．

三、解答题：本题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.解：（1）由题意，得
， …………2分

所以
， ………………4分

因为
，所以
，故
. ………6分

（2）因为

，所以
， ……………9分

在
中，由余弦定理得
，

即
，解得
. ……………12分

19．解析（1）
，
,

即
，即

，
又
，所以
. ……………………6分

（2）
，
，即

又
，
又

综上：ΔABC的周长
的取值范围为
. ……………………12分

18解：

20.(1)∵
， ∴
， ………2分

若
，因
，所以
，故
，函数
在
上单调递减；…3分

若
，当
时，
，函数
单调递增；

当
时，
，函数
单调递减．………5分

综上，若
，函数
的单调减区间为
；

若
，
的单调增区间为
，单调减区间为
．………6分

（2）
时，
，

由（Ⅰ）可知，
在
上单调递增，在
上单调递减，………8分

故在
上单调递增，在
上单调递减，

所以函数
在
上的最大值为
；………9分

而
；
，

，

所以
，故函数
在
上的最小值为
．………12分

21解：（1）当
时，
,
,………1分

, ………2分
切线方程为
．………4分

（2）
≥1,
≥
≤
, ………6分

设
,则
, ………7分

设
,则
, ………8分

在
上为增函数,
≥
, ………9分

,
在
上为增函数, ………11分

≥
,
≤
．………12分

23．【解析】（1）圆
的普通方程为：

曲线
的普通方程为：
……………………4分

（2）由（1）可知：
则直线
的参数方程为：
为参数）

将其代入
，有
，

所以圆心
到
两点的距离之积为
……………………10分

24. 【证明】 (1)∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2，

(－1)·(－1)·(－1)＝≥＝8. ………………5分

(2)∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2，

2(a＋b＋c)≥2＋2＋2，

两边同加a＋b＋c得3(a＋b＋c)≥a＋b＋c＋2＋2＋2＝(＋＋)2.

又a＋b＋c＝1，∴(＋＋)2≤3，

∴＋＋≤. ……………………10分

24.

通达教学资源网 http://www.nyq.cn/