长安一中高三（2014级）第一次教学质量检测试题

高三数学试题（文科）

选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知
，
，若
是纯虚数，则
（ ）.

A.
B.
C.
D.

2. 若集合
,
,且
,则满足条件的实数
的个数为（ ）.

A.
B.
C.
D.

3.已知平面向量
满足
的夹角为60°，若
则实数
的值为（ ）.

A.1 B.
C.2 D.3

4. 平行于直线
且与圆
相切的直线的方程是（ ）.

A．
或
B．
或

C．
或
D．
或

5.西安市2015年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如右图所示，则这组数据中的中位数是（ ）.

A. 19 B.20 C.21．5 D.23

6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）.

A.
B.

C.
D.

7. 如果函数
的图像关于点
中心对称，那么
的最小值为（ ）.

A.
B.
C.
D.

8. 如果执行右边的程序框图，输入
，

那么输出的各个数的和等于（ ）.

A.3 B.
C.4 D.

9.已知
，则
（ ）.

A.
B.
C.
D.

10. 随机地向半圆
为正常数）内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与
轴的夹角小于
的概率为（ ）.

A.
B.
C.
D.

11.设
是双曲线
的两个焦点,
是
上一点,若
且
的最小内角为
,则
的离心率为( ) .

A.
B.
C.
D.

12.已知
，若
恰有两个零点，则实数
的取值为（ ）.

A. 1 B.
C. 1或
D.

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是______________．

14．已知△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA＋bsinB

15．若函数f(x)＝2sin(x＋)(－2

16．设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是______________．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本小题共12分）在
中,角
所对的边分别为
，且
.

（1）求
的大小；

（2）设
的平分线
交
于
，
,求
的值.

18.（本小题共12分）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：

表1：男生表2：女生

等级

优秀

合格

尚待改进



等级

优秀

合格

尚待改进



频数

15

x

5



频数

15

3

y



（1）从表2的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；

（2）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90％的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．

19．（本小题共12分）如图2,四边形
为矩形,
平面
,
,
,作如图3折叠,折痕
.其中点
.
分别在线段
.
上,沿
折叠后点
在线段
上的点记为
,并且
.

(1)证明：
平面
；

(2)求三棱锥
的体积.

20. （本小题共12分）已知椭圆C：
,（
），离心率是
，原点与C和直线
的交点围成的三角形面积是
.

（I）求椭圆方程；

（II）若直线
过点
与椭圆C相交于
，
两点（
，
不是左右顶点），D是椭圆
的右顶点，求
是定值.

21．（本小题共12分）已知函数.

(I)讨论
的单调性；

(II)若
有两个零点，求
的取值范围.

请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
的外接圆的切线
与
的延长线相交于点
，
的平分线与
相交于点
，
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求
的值．

23．（本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），在以原点
为极点，
轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）求曲线
的普通方程和直线
的倾斜角；

（Ⅱ）设点
，直线
和曲线
交于
两点，求
的值．

24．（本小题满分10分）选修
：不等式选讲

已知实数
满足关于
的不等式
的解集为
，

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，且
，求证：
．

长安一中高三（2014级）第一次教学质量检测试题

文科参考答案

一、选择题（每题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

D

D

B

A

A

B

A

A

C

B





二、填空题（每题5分，共20分）

13. (－2,1) 14. 钝角三角形

15. 32 16. (－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞)

三、解答题

17、解：（1）
，

……………………………………………………4分

（2）在
中，由正弦定理:

, ……………………………………………………6分

………………………………………………8分

………………………………………………10分

………………………………………………12分

18、 解：（1）设从高一年级男生中抽出
人，则
，
，

∴

表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为
，尚待改进的
人为
，

则从这5人中任选2人的所有可能结果为：
，
，
，
，
，
，

，
，
，
共10种

设事件
表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，

则
的结果为：
，共6种

∴
，故所求概率为

（2）

∵
，
，

而

所以没有
的把握认为“测评结果优秀与性别有关”

19 .

(2)
平面
,
,

又易知
,
,从而
,

,
,即
,
,
,

,

,

.

20、解：解：（I）
　　　　　　　　　　　 (4分)

（II）当
斜率不存在时

所以

所以

当
斜率存在时，设直线
：
或

由
得
，

因为
与C有两个交点
，

所以
且

所以

因为

所以

所以

综上

21、解：(I)

(i)设
，则当
时，
；当
时，
.

所以在
单调递减，在
单调递增.

(ii)设
，由
得x=1或x=ln(-2a).

①若
，则
，所以
在
单调递增.

②若
，则ln(-2a)<1,故当
时，
；

当
时，
，所以
在
单调递增，在
单调递减.

③若
，则
，故当
时，
，当
时，
，所以
在
单调递增，在
单调递减.

(II)(i)设
，则由(I)知，
在
单调递减，在
单调递增.

又
，取b满足b<0且
，

则
，所以
有两个零点.

(ii)设a=0，则
所以
有一个零点.

(iii)设a<0，若
，则由(I)知，
在
单调递增.

又当
时，
<0，故
不存在两个零点；若
，则由(I)知，
在
单调递减，在
单调递增.又当
时
<0，故
不存在两个零点.

综上，a的取值范围为
.

22．【解答】（Ⅰ）因为
为圆的切线，所以
,

又因为
平分
，所以
,

因为
,所以
,

所以

（Ⅱ）
,因为
,所以

则
,所以

23．【解答】（Ⅰ）曲线
的普通方程：
，

直线
的直角坐标方程：
，倾斜角为

（Ⅱ）由上知，
在直线
上，设直线
的参数方程为
（
为参数）

代入曲线
的方程得：
，

由直线上的点
在曲线
内知方程有两个不同的解
，即为点
对应的参数，则
，
，则
，

所以

24．【解答】（Ⅰ）将
代入不等式得
，得

（Ⅱ）
，由柯西不等式知，

，所以

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