长安一中高三（2014级）第一次教学质量检测试题

高三数学试题（理科）

选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知
，
，若
是纯虚数，则
（ ）.

A.
B.
C.
D.

2. 若集合
,
,且
,则满足条件的实数
的个数为（ ）.

A.
B.
C.
D.

3.已知平面向量
满足
的夹角为60°，若
则实数
的值为（ ）.

A.1 B.
C.2 D.3

4. 平行于直线
且与圆
相切的直线的方程是（ ）.

A．
或
B．
或

C．
或
D．
或

5.已知
的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）.

A．
B．
C．
D．

6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）.

A.
B.

C.
D.

7. 如果函数
的图像关于点
中心对称，那么
的最小值为（ ）.

A.
B.
C.
D.

8. 如果执行右边的程序框图，输入
，

那么输出的各个数的和等于（ ）.

A.3 B.
C.4 D.

9.已知
，则
（ ）.

A.
B.
C.
D.

10. 随机地向半圆
为正常数）内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与
轴的夹角小于
的概率为（ ）.

A.
B.
C.
D.

11.设
是双曲线
的两个焦点,
是
上一点,若
且
的最小内角为
,则
的离心率为( ) .

A.
B.
C.
D.

12.已知
，若
恰有两个零点，则实数
的取值为（ ）.

A. 1 B.
C. 1或
D.

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是______________．

14．已知△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA＋bsinB

15．若函数f(x)＝2sin(x＋)(－2

16．设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是______________．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本小题共12分）在
中,角
所对的边分别为
，且
.

（1）求
的大小；

（2）设
的平分线
交
于
，
,求
的值.

18.（本小题共12分）某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，下表是在某单位得到的数据（人数）：

（1）能否有90％以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关?

赞同

反对

合计



男

5

6

11



女

11

3

14



合计

16

9

25



（2）进一步调查：

①从赞同“男女延迟退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；

②从反对“男女延迟退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调查的女士人数为X,求X的分布列和数学期望．附：

19．（本小题共12分）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O
的直径，FB是圆台的一条母线.

（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；

（II）已知EF=FB=
AC=
，AB=BC.求二面角
的余弦值.

20. （本小题共12分）已知椭圆C：
,（
），离心率是
，原点与C和直线
的交点围成的三角形面积是
.

（I）求椭圆方程；

（II）若直线
过点
与椭圆C相交于
，
两点（
，
不是左右顶点），D是椭圆
的右顶点，求
是定值.

21．（本小题共12分）已知函数

（1）当
时，求函数
的最值；

（2）求函数
的单调区间；

（3）说明是否存在实数
使
的图象与
无公共点.

请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
的外接圆的切线
与
的延长线相交于点
，
的平分线与
相交于点
，
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求
的值．

23．（本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），在以原点
为极点，
轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）求曲线
的普通方程和直线
的倾斜角；

（Ⅱ）设点
，直线
和曲线
交于
两点，求
的值．

24．（本小题满分10分）选修
：不等式选讲

已知实数
满足关于
的不等式
的解集为
，

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，且
，求证：
．

陕西省西安市长安区第一中学2017届高三上学期第一次教学质量检测数学（理）试题参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

1-5.BCDDB 6-10.AABAA 11-12.CB

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.
14. 钝角三角形 15.

16.

三、解答题

17.解：（1）
.

（2）在
中, 由正弦定理
,

,

.

②根据题意,
服从超几何分布,
,

的分布列为:
























的数学期望为
.

19. 解：（1）连结
,取
的中点
,连结
在上底面内,
不在上底面内,
上底面,
平面
,又
平面
,
平面
,
平面
,所以平面
平面
,由
平面
平面
.

（2）连结
,以
为原点, 分别以
为
轴建立空间直角坐标系,
,

于是有
,可得平面
中的向量

,于是得平面
的一个法向量
,又平面
的一个法向量
.设二面角
为
,则
,

二面角
的余弦值为
.

20. 解：（1）
.

（2）当
斜率不存在时,
;当
斜率存在时, 设直线
, 由
得
与
有两个交点
,且
,

,综上
.

21. 解：（1）函数
定义域是
,当
时,
在
为减函数, 在
为增函数, 所以函数
的最小值为
.

（2）
,若
时, 则
,

在
恒成立, 所以
的增区间
.若
, 则
故当

,当
时,
, 所以

时,
的减区间为
,
的增区间为
.

（3）
时, 由（1）知
在
的最小值为
,

令
在
上单调递减, 所以
,

则
,因此存在实数
使
的最小值大于
,

故存在实数
使
的图象与
无公共点.

22. 解：（1）因为
为圆的切线, 所以
,又因为
平分
,
.

（2）
,则
.

23．本题满分10分

解：(1) .
, 由
,得
,

所以曲线
的直角坐标方程为,由
,消去
解得：
.

所以直线l的普通方程为
.

(2)把
代入
, 整理得
,

设其两根分别为
，则
.

24. 解：（1）原不等式等价于
,当
时, 不等式化为
,解得
,当
时, 不等式化为
,解得
,无解, 当