诸暨二中2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题

1-12班

一、选择题（3分×12=36分）

1、下列命题中： ①若
,则
或
; ②若不平行的两个非零向量
,
满足
,则
; ③若
与
平行,则
； ④

若
∥
,
∥
,则
∥
;其中假命题的个数是 （ ）

A、1 B、2 C、3 D、4

2、、下列命题正确的个数是 （ ）

①
； ②
； ③
； ④

A、1 B、2 C、3 D、4

3、设等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）

A．27 B．36 C．45 D．63

4、在ΔABC中,若
,则
（ ）

A、-4 B、4 C、6 D、-6

5、数列
的一个通项公式是 （ ）

A．
B．

C．
D．

6、△ABC中，
，则△ABC一定是 （ ） A、直角三角形 B、钝角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形

7、设平面向量
=(－2，1)，
=(λ，－1)，若
与
的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）

A、
B、

C、
D、

8、设Sn是等差数列
的前n项和，若
，则
的值为 （ ）

A、
B、18 C、1 D、

9、设
是等差数列，若
，则数列
前8项和为（　　）

A、128 B、80 C、64 D、56

10、△ABC中，∠A=60°, a=, b=2, 那么满足条件的△ABC ( )

A 有 一个解 B有两个解 C 无解 D不能确定

11、在
中，
，其面积
，则
与
夹角的取值范围是

（ ）

A．
B．
C．
D．

12、在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、分别为a、b，则＝ （ ）

A、－a－b B、a－b C、－a＋b D、a＋b

[答案]　B

[解析]　＝b＋a，＝a－b，设＝λ，则＝λa－λb，∴＝＋＝λa＋b，

∵与共线且a、b不共线，∴＝，∴λ＝，∴＝a＋b.

二、填空题（4分×5=20分）：

13、已知
,
且
∥
,则

14、已知数列
中，
，则数列通项
=

15、在
中，若
，则最大角的余弦值等于

16、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：

则第n个图案中有白色地面砖_______4n+2_________块.

17、已知直角梯形
中，
//
,
,
,
是腰
上的动点，则
的最小值为___
________

三、解答题（5小题共44分）

18．（本题8分）

已知
、
是夹角为60°的两个单位向量，
，

(1)求
;

(2)求
与
的夹角.

19．（本题8分）

如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个

观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一

艘轮船发出求救信号位于B点南偏西60°且与B点相距20海

里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援

船到达D点需要多长时间？

解：由题意知
海里，

在
中，由正弦定理得
,

=
（海里），（4分）

又
海里，

在
中，由余弦定理得

=

30（海里）

则需要的时间
（小时）.（4分）

答：救援船到达D点需要1小时.

20.（本题8分）

21．（本题10分）

已知△ABC中，2
（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圆半径为
.

（1）求∠C；

（2）求△ABC面积的最大值.

解：（1）由2
（sin2A－sin2C）=（a－b）·sinB得2
（
－
）=（a－b）
.

又∵R=
，

∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.

∴cosC=
=
.

又∵0°＜C＜180°，∴C=60°（4分）

（2）S=
absinC=
×
ab

=2
sinAsinB=2
sinAsin（120°－A）

=2
sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）

=3sinAcosA+
sin2A

=
sin2A－
sin2Acos2A+

=
sin（2A－30°）+
.

∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=
.（6分）

22. （本题10分）

设
，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数
的前n项和为
，满足S5S6＋15＝0.

（Ⅰ）当S5＝5时，

（Ⅱ）求d的取值范围.

.解：（Ⅰ）由S5＝5和S5S6＋15＝0得
.

（1分）

.

.