康桥学校2012-2013学年高一下学期第一次月考数学试题

参考公式：

一、选择题（共12题，每小题5分，共计60分；每题只有1个选项符合题意）

1. 已知某几何体的三视图如下图所示，那么这个几何体是（ ）

A. 长方体 B. 圆柱 C. 正方体 D. 圆锥

2. 已知过点
和
的直线的斜率为
，则
的值为（ ）

A.
B. 2 C. 3 D. 4

3. 已知一个圆台的上底面半径为3，下底面半径为5，表面积为
，则圆台的母线长为（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

4. 若直线
上的一个点P在平面
内，另一个点Q在平面
外，则直线
与平面
的位置关系是（ ）

A. 异面 B.
C.
D.

5. 下列命题中正确的是（ ）

A. 空间中的任意三点确定一个平面 B. 空间中两两相交的三条直线确定一个平面

C. 有且只有一组对边平行的四边形是平面图形 D. 两组对边分别相等的四边形一定是平面图形

6. 已知
是正三角形，且它的边长为
，那么它的直观图
的面积为（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 在正方体
中，异面直线
与
所成的角为（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 已知直线
的斜率为
，直线
经过点
，则两条直线的位置关系为（ ）

A. 平行 B. 相交但不垂直 C. 相交且垂直 D. 以上都不正确

9. 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为（ ）

A.
B.
C.
D.

10. 已知
、
是不同的平面，
、
是不同的直线，则下列命题不正确的是 （ ）

A. 若
∥
，则
B. 若
∥

，则
∥

C. 若
∥
，
，则
D. 若

，则
∥
.

11. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积为S，那么圆柱的体积为（ ）

A.
B.
C.
D.

12. 一个正四棱台的两底面边长分别为
，侧面积等于两个底面面积之和，则这个棱台的高为 （ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知
是两条直线，
，
是两个平面，
是一个点，若
，且 （填上一个条件即可），则有
.

14. 若一个正方体的表面积为
，则它的外接球的表面积为 .

15. 若
，
，则l与m的位置关系为 .

16. 下列命题中

①如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；

②如果平面
没有公共点，则
异面；

③经过两条相交直线，有且只有一个平面；

④如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合.

正确命题的序号有 （请你把所有正确命题的序号都填上）

三、解答题（本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. （本题满分10分）

已知直角三角形的三边分别为
，绕边长为
的边旋转一周形成一个几何体，想象并写出它是什么几何体，画出它的三视图（尺寸不作严格要求），求出它的表面积和体积.

18. （本题满分12分）

已知圆台的上、下底面半径分别是2、6，且侧面面积等于两底面面积之和.

（1）求该圆台母线的长；

（2）求该圆台的体积.

20. （本题满分12分）

如图所示，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）
中，
，
，
，
是
边的中点.

（1）求证：
； （2）求证：
平面
.

21. （本题满分12分）

如图所示，已知在四面体
中，
，
与
是两个全等的等腰直角三角形，
.

（1）求证：平面
平面
；

（2）求直线
与平面
所成的角的余弦值.

22. （本题满分12分）

已知一个圆锥的底面半径为
，高为
，在圆锥内部有一个高为
的内接圆柱.

（1）画出圆锥及其内接圆柱的轴截面示意图；

（2）求圆柱的侧面积表达式；

（3）当
取何值时，圆柱的侧面积最大，并求出这个最大值.

2012~2013（下）高一第一次月考数学试卷答案

一、选择题

1~5 B A B D C 6~10 D C C A B 11~12 D A

二、填空题

13.
14.
15. 平行或异面 16. ③

设圆锥的高为h，底面半径为r，母线为l，则h=4，r=3，l=5

（2分+2分）

∴ 圆锥的表面积为24
，体积为12
.

18. 解：（1）设圆台的母线为l，则由题意得
………3分

∴
. ………………5分

∴ 该圆台的母线长为5 ………………6分

（2）设圆台的高为
，由勾股定理可得
………9分

∴ 圆台的体积
. ………………………………12分

20. 证明：（1）

……1分

…2分

∴
……………………………………3分

又∵
……5分

……………………6分

且
……………………7分

………………………………8分

（2）连结
交
于点E，再连结DE

是
边的中点.
为
的中位线

//
………………9分

…………10分

∥ 面
…………………………12分

21. 证明：（1）∵
是等腰直角三角形 AB=BC

∴ AB⊥BC …………1分

又∵ AB⊥BD

…………2分

∴ AB⊥面BCD …………………………3分

又∵

∴ AB⊥CD………………………………4分

又∵
是等腰直角三角形 BC=CD

∴ CD⊥BC………………………………5分

又∵

∴ CD⊥面ABC………………………………7分

又∵

∴
……………………8分

（2）∵ CD⊥面ABC

∴ AC为直线AD在平面ABC内的射影

∴
为直线AD与平面ABC所成的角 ………………10分

设
，则
，

∴在
中，
. …………11分

∴ 直线AD与平面ABC所成角的余弦值为
.…………12分

22. 解：（1）图略…………………………2分

（2）设圆柱的底面半径为
，则依题意可得

……………………4分

从而圆柱的侧面积为
…………5分

……………………6分