湖北省孝感高级中学2012—2013学年度高中一年级下学期期中考试

数 学

命题人：刘礼连 考试时间：120分钟

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1． 已知数列
则
是它的（ ）

A．第25项 B．第26项 C．第27项 D．第28项

2． 在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（ ）

3． 等比数列
中，如果
，
，则
等于（ ）

A．4 B．
C．
D．3

4． 正方体AC1中，E、F分别是DD1、BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是（ ）

A．
B．
C．
D．

5． 已知f(x)是定义在(0,3)上的函数，图象如图所示，则不等式f(x)cosx<0的解集是（ ）

A．

B．

C．

D．

6． 已知数列
，若
，记Sn为
的前n项和，则使Sn达到最大的n值为（ ）

A．13 B．12 C．11 D．10

7． 如图，一个空间几何体的正视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）

A．1 B．错误！未找到引用源。 C．
D．错误！未找到引用源。

8． 已知函数
，则f(
)的值是（ ）

A．
B．1 C．
D．2

9． 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中,有以下5个命题：

①
与
垂直；

②
与
平行；

③
与
是异面直线；

④
与
成
角；

⑤
异面直线。

其中正确的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

10．若关于x的不等式a≤
x2
3x+4≤b的解集恰好是［a,b］，则
的值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将各题的答案填写在答题卷中对应的横线上。

11．若数列
满足
，且
，则
_______.

12．如图所示，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为＿＿＿（平方单位）.

13．已知
，
，且
，则向量
与向量
的夹角是＿＿＿.

14．当太阳光线与地面成30°角时，长为18cm的一支铅笔在地面上的影子最长为＿＿＿cm.

15．已知函数
，且
是它的最大值，(其中m、n为常数且
)给出下列命题：

①
是偶函数； ②函数
的图象关于点
对称；

③
是函数
的最小值；

④记函数
的图象在
轴右侧与直线
的交点按横坐标从小到大依次记为
，
，
，
，…，则
；

⑤
.

其中真命题的是_____________.（写出所有正确命题的编号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．记函数
的定义域为A，
的定义域为B.

（Ⅰ）求A； （Ⅱ）若
，求实数a的取值范围.（12分）

17．已知在△ABC中，
，且
与
是方程
的两个根.

（Ⅰ）求
的值;

（Ⅱ）若AB=
，求
的面积.（12分）

18．已知数列
中，
，
.

（Ⅰ）求证：数列
为等差数列；

（Ⅱ）求数列
的通项公式.（12分）

19．为了加强对H7N9的防控，某养鸭场要围成相同面积的长方形鸭笼四间（无盖），如图所示，一面可利用原有的墙，其他各面用铁丝网围成.

（Ⅰ）现有可围72m长的铁丝网，则每间鸭笼的长、宽各设计为多少时，可使每间鸭笼面积最大？

（Ⅱ）若使每间鸭笼面积为24 m2，则每间鸭笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间 鸭笼的铁丝网总长最小？（12分）

20．已知

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，且
，求x的值；

（Ⅲ）若
，求不等式：
的解集A.（13分）

已知数列错误！未找到引用源。中，错误！未找到引用源。，其前n项和
满足错误！未找到引用源。．

（Ⅰ）求数列错误！未找到引用源。的通项公式；

（Ⅱ）令错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。是数列错误！未找到引用源。的前n项和，求
错误！未找到引用源。；

（Ⅲ）求证：对任意的错误！未找到引用源。，均存在错误！未找到引用源。，使得当
时，（Ⅱ）中的错误！未找到引用源。恒成立．（14分）

湖北省孝感高级中学2012—2013学年度高中一年级

下学期期中考试数学 参考答案及评分标准

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

A

A

C

B

B

D

B

C

D





二、填空题：

11：
12：
13：
14：

15：
① ② ⑤

三、解答题。

16、解：（1）函数定义域为
-------------------------------------------------5分

(2)

B=
--------------------------------------------------8分

要
则
----------------12分

17、解：（Ⅰ）由所给条件，方程
的两根
.…………2分

∴
………………………………………………………………4分

……………………………………………………………………………… 6分

（或由韦达定理直接给出）

(Ⅱ)∵
,∴
.

由（Ⅰ）知，
，

∵
为三角形的内角，∴
…………………………………………8分

∵
，
为三角形的内角，∴
，

由正弦定理得：

∴.
.……………………………………………………………………9分

由
∴

∴

………………………………………12分

（亦可由其它边角关系求）

18、解：（1）证：由

有
…………………………………………………………3分

∴

即
是公差为1的等差数列…………………………………………………………6分

（2）∵
∴
∴
………………………………8分

∴

∴
………………………………………………………………………………12分

19、(1)设每间鸭笼长x m，宽为y m,则由条件得4x+6y=72,即2x+3y=36,

设每间鸭笼面积为S,则S=xy.

由于

∴
得

即
当且仅当2x=3y时，等号成立,

由
解得

故每间鸭笼长为9 m,宽为6 m时，可使面积最大.

(2)由条件知S=xy=24,设铁丝网总长为l，则l=4x+6y.

∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48

当且仅当2x=3y时，等号成立,

由
解得

故每间鸭笼长6 m,宽4 m时，可使铁丝网总长最小.

20、解（1）
……………………………………………………4分

（2）

令
得
……………………………………………………6分

由
得
∴
或

从而
或
……………………………………………………………………9分

（3）由
得

∴
………………………………………………………………11分

又
，∴
∴

从而
……………………………………………………13分

21、（1）由
得

，
，即
……3分

又
，
…………………………4分

故数列
的通项公式为
．…………………………………………6分

（2）
……………………8分

………………………………………10分

（3）证明：由（2）可知

若
,则得
,化简得

，

…………………………………12分

当
，即

当
，即