时量：120分钟

满 分：100 分（必考试卷Ⅰ） 50分（必考试卷Ⅱ）

命题人及审题人：龚红玲 苏林 周正安 高一数学备课组长：贺忠良

必考试卷Ⅰ

一、选择题:本大题共7个小题,每小题5分,满分35分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1、函数
是 (　 　)

（A）周期为
的奇函数 （B）周期为
的奇函数

（C）周期为
的偶函数 （D） 周期为
的偶函数

【答案】B

【解析】略

2、已知角
的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在射线
上，则
= ( )

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】A

【解析】在角
的终边上取点
，则
，所以
.

3、运行如右所示的程序框图，输入下列四个函数，则输出的函数是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

【答案】D

【解析】由
知周期为2，故选D.

4、从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①事件“恰有一个偶数”和事件“恰有一个奇数”；②事件“至少有一个奇数”和事件“两个都是奇数”；③事件“至少有一个奇数”和事件“两个都是偶数”；④事件“至少有一个奇数”和事件“至少有一个偶数”．在上述四组事件中，是对立事件的是（ ）

（A）① （B）②④ （C）③ （D）①③

【答案】C

5、已知向量
，设
，则 (　　 )

（A）
（B）

（C）
（D）

【答案】B

【解析】由
得
解得
.

6、若四边形
满足：
,
,则该四边形的形状

判断正确的是（ ）

（A）矩形 （B）菱形 （C）正方形 （D）直角梯形

【答案】

【解析】由
，得四边形
是平行四边形；由
得
，即
，所以平行四边形
是菱形.

7、在区间
内任取一个角，则满足
的概率值等于（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】A

【解析】在区间
内，满足
的的取值范围是
，所以所求的概率
.

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.

8、求值：

【答案】

【解析】

9、已知向量
满足：
，且
的夹角为
，则

【答案】

【解析】

10、先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子朝上的点数分别为
，则满足
的概率为_____________.

【答案】

【解析】 　设“
”为事件A，则A包含的基本事件只有1个即（2,4），而基本事件总数有
，故
.

11、已知函数
，则
的单调递减区间为 。

【答案】

【解析】由
解得
，所以
的单调递增区间是
.

12、有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图，

估计样本数据落在区间[10,12)内的频数为____________．

【答案】36

【解析】由0.02＋0.05＋0.15＋0.19＝0.41，

∴落在区间[2,10]内的频率为0.41×2＝0. 82.

∴落在区间[10,12)内的频率为1－0.82＝0.18.

∴样本数据落在区间[10,12)内的频数为0.18×200＝36.

13、已知函数
.

①若
对
恒成立，则=_________；

②在①的条件下，若函数
在区间
上有两个不同的零点，则实数的取

值范围为
.

【答案】①
；②

三、解答题:本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

14．（本小题满分11分）

已知函数f(x) =
的最小正周期为π，其中
，且函数f(x)的图象过点(
).

(1)求
的值；

(2)求f(x)的单调递增区间.

【解析】(1)因为f(x)的最小正周期为π，且
，

所以= 2.故f(x) =

又f(x)的图象过点(
)，所以

故
，(k∈Z)

又因为
，所以
；

(2)由(1)知f(x) =
，

故当且仅当
时f(x)单调递增，

解得

即f(x)的单调递增区间为[
]，k∈Z.

15．（本小题满分12分）

为了丰富学校课余文化生活，锻炼学生的综合能力，湖南师大附中成立了多个学生社团，并鼓励学生参加社团活动或加入社团组织经过调研，若学生人均加入社团1~2个，则说明社团活动开展得有序.为此，学校规定学生加入的社团个数不能超过3个.社团节期间，校团委为了了解学生社团活动开展情况，随机发放并回收了100份调查问卷，并对各项指标进行了统计，其中学生参加社团的个数情况统计如图所示.

(1)求参加调查的100名学生中加入了3个社团的人数；

(2)根据问卷调查统计情况，判断社团活动开展是否有序，并说明理由；

(3)问卷显示没有参加社团的7名同学中有三名高二同学，四名高三同学，若从这7名同学中随机选两名同学参加座谈，求恰好两名同学都是高二学生的概率.

【解析】(1) 当点P在x轴上运动时，y0 = 0，

所以
=
= 0，

故
；

(2) 由
∥
知
，

即

所以

即
，

反之当
时
，知
∥

故P点总在定直线x－y = 0上运动。

必考试卷Ⅱ

一、选择题:本大题共1个小题,每小题5分,满分5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1、为得到函数
的图象，只要将
的图象上所有的点（ ）

（A）向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；

（B）向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变；

（C）向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变；

（D）向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变。

【解析】略

二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.

2、某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3∶4∶7，现用分层

抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中B型号产品有28件．那么此样本的容量n等于

________．

【答案】98

【解析】由题意知A、B、C三种不同型号产品的数量之比为3∶4∶7，样本中B型号产品有28件，则可推得分别抽取A、C两种型号产品21件、49件，所以n＝21＋28＋49＝98.

三、解答题:本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

3、（本小题满分13分）

已知角
，且
、
是一元二次方程
的两个实根。

（1）求实数的值；

（2）求
的值。

【解析】（1）由题设知：
，结合
，

得：
，则
；

（2）将
代入原方程可求得
的两根依次为
、
。

而
，知
、
，故
、
。

则

。

注：也可先求出
，然后直接代值计算。

4、（本小题满分13分）

对关于的一元二次方程
……
，解决下列两个问题：

（1）若是从
三个数中任取的一个数，
是从
三个数中任取的一个数，求方程
有两个不相等实根的概率；

（2）若是从区间
任取的一个数，
是从区间
任取的一个数，求方程
有两个不相等实根的概率．

解析：设事件为“方程
有两个不相等实根”．

当
且
时，要方程
有两个不相等实根，需
．

（1）基本事件共9个：

．其中第一个数表示的取值，第二个数表示
的取值．

事件中包含6个基本事件
，则事件发生的概率为
．

（2）试验的全部结果所构成的区域为
．

构成事件的区域为
（如图示）．

则所求的概率为
．

5、(本小题满分14分）

如图示，已知A、B、C为平面上的三个定点，
，动点在
的平分线上，记
，
，

若
，试用、
、
表示
；

问当为何值时，
取最小值，并求此最小值。