高级中学2012-2013学年第二学期期中测试

高一数学（理科）

第Ⅰ卷（本卷共计40分）

一. 选择题：(本大题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题只有一个正确选项)

1．
的值是 （ ）

A.
B.
C.
D.

2．下列各式中，值为
的是 （ ）

A．
B．

C．
D．

3．如图
，
为互相垂直的单位向量，向量
可表示为 ( )

A．
2
B．
3

C．
2
D．
3

4．要得到
的图象只需将
的图象 （ ）

A．向左平移
个单位 B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位 D．向右平移
个单位

5．如图所示，
是
的边
上的中点，则
= （ ）

A．
B．

C．
D．

6．已知
，
，那么
的值为 （ ）

A．
B．
C.
D．

7. 已知
则下列
值中能使
是直角三角形的一个值是( )

A．
B．
C．
D．

8. 已知关于
的方程
在区间
内有两个不同的实数根,则常数
的取值范围是 ( ）

A．
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（本卷共计110分）

二. 填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）

9．已知
，
，且
，则点
的坐标为 .

10．已知
，则
　　　　　.

11．已知
，则
与
的夹角为_________.

12．

的值域是_______.

13. 如图是函数
在一个周期内的图象，如果
，则此函数的解析式为 .

14． 向量
与
的夹角为
，
在
时取得最小值，当
时，夹角
的取值范围是__________.

三、解答题：(本大题共6小题，满分80分．须写出文字说明、证明过程和演算步骤)

15．(本小题12分) 设
是两个不共线的向量，

(1)已知
，
，
，若三点
共线，求
的值.

（2）如图，ABCD是一个梯形，
，M、N分别是
的中点，已知

，

，试用
、
表示
和

16．(本小题14分) 设函数
，

（1）求
；（2）若
，且
，求
的值；

（3）画出函数
在区间
上的图像（完成列表并作图）.

（3）列表

x

0













y



－1



1







描点，连线

17．(本小题14分)在平面直角坐标系
中，点
、
、
．

(1) 求以线段
,
为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

（2）求和夹角的余弦值；

（3）是否存在实数t满足
，若存在，求t的值；若不存在，说明理由．

18．(本小题12分) 已知
，求
和
的值.

19．(本小题14分) 已知函数

是不为零的实数.

(1)写出函数
的单调递减区间；

(2)设
，
的最小值是
，最大值是
，求实数
的值．

20. (本小题14分) 如图，已知扇形
的面积为
, 弧AB的长为
,在扇形
的弧AB上任取一点
，作
，交
于点
，求
的最大面积.

高级中学2012-2013学年第二学期期中测试

高一数学（理科）答题卷

一．选择题：（每题5分,共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案





















二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9. _____________________ 10. __________________________

11. _____________________ 12.__________________________．

13．________________________ 14. ______________________________.

三、解答题:（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.(本小题12分)

16.(本小题14分)

(1)

(2)

（3）列表

x

0













y



－1



1







描点，连线

(17) (本小题14分)

18.(本小题12分)

19.(本小题14分)

20.(本小题14分)

高级中学2012-2013学年第二学期期中测试

高一数学（理科）参考答案

一．选择题：（每题5分,共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

D

C

C

A

B

C

B





二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9. ________
________ 10. __________
____________

11. ________
___________ 12.____
_______________．

13．________
___ 14. _______
____________.

三、解答题：(本大题共6小题，满分80分．须写出文字说明、证明过程和演算步骤)

15．(本小题12分)设
是两个不共线的向量，

(1)已知
，
，
，若三点
共线，求k的值.

（2）如图，ABCD是一个梯形，
，M、N分别是
的中点，已知

，

，试用
、
表示
和

15．解：（1）


……2分

三点共线，
共线，

存在
使
，即
……4分

，解得
……6分

（2）
| ∴

………………8分

………………12分

16．(本小题14分)设函数

（1）求
；（2）若
，且
，求
的值.

（3）画出函数
在区间
上的图像（完成列表并作图）。

（3）列表

x

0













y



－1



1







描点，连线

16．解：（1）

，

………………2分

（2）由（1）知

由
得：
， ………………4分

∴
由于
，从而
……………6分

因此
． …… 8分

（3）由

x

0













y



－1

0

1

0





…………11分

故函数
……………14分

17．(本小题14分)在平面直角坐标系
中，点
(－1，－2)、
(2,3)、
．

(1) 求以线段
,
为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

（2）求和夹角的余弦值.

（3）是否存在实数t满足
，若存在，求t的值；若不存在，说明理由．

17．(1) 由题意知＝(3,5)，＝(－1,1)，

则＋＝(2,6)，－＝(4,4)． ………… 4分

所以
，
＝4.

故所求的两条对角线的长分别为2、4 ………… 6分

（2）

所以和夹角的余弦值为
…………10分

3）由题设知：
, ＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)． ……12分

假设存在实数t满足
，则(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝4，

从而5t＝－15，所以t＝－3. …………………………………………………………14分

18．(本小题12分)已知
，求
和
的值。

18．解：（1）
…………………………………...………2分

……………………………...………4分

（2）由
，得

由
，得
………...…8分

∴
……………………..……...………10分

………………………...………12分

（其他方法参照给分）

19．(本小题14分)已知函数

是不为零的实数.

(1)写出函数
的单调递减区间；

(2)设
，
的最小值是
，最大值是
，求实数
的值．

19.解：

…………...………4分

（1）当
时,

即为
的单调递减区间..………6分

当
时,

即为
的单调递减区间..………8分

（2）
--------10分

当
时,

…………...………12分

当
时,

综上
或
…………………………14分

20. (本小题14分)如图，已知扇形
的面积为
, 弧AB的长为
,在扇形
的弧AB上任取一点
，作
，交
于点
，求
的最大面积.

20．设扇形
的半径为