吉林市普通高中2013—2014学年度高一年级新生综合能力摸底考试

数 学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共120分，共10页，考试时间90分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

注意事项：

1、答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号，并将条形码粘贴在答题卡指定的位置上。

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卡面清洁，不折叠、不破损。

第Ⅰ卷（选择题，共36分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个结论中有且只有一个是正确的

1. 下列四个数中，其倒数是负整数的是

A．3 B．
C．-2 D．-

2.
的值

A．在3和4之间 B．在4和
5之间

C．在5和6之间 D．在6和7之间

3. 下列运算错误的是

A.
B.

C.
D.

4. 如图，量角器外缘边上有
三点，它们所表示的读数分别是180°，70°，30°，则
的大小为

A．15°

B．20°

C．30°

D．35°

5. 已知关于x的不等式组
的整数解只有6个，则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

6. 若集合
中只有一个元素,则实数
的值为

A. 0 B. 1 C. 0或1 D.

7. 一汽船保持船速不变，它在相距50千米的
两码头之间流动的河水中往返一次（船速大于水速）的时
间为
，在静止的湖水中航行100千米的时间为
, 则
的大小关系为

A.
B.

C.
D.
大小不确定

8. 设
，则
大小关系是

A.
B.

C.
D.

9. 如图，
是反比例函数
图象上一点,
轴，
的面积为4 , 则
的值是

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

10. 如图，在梯形
中，
，
，
为
上一动点，则△
周长的最小值为

A. 8

B. 10

C. 12

D. 24

11. 如图，矩形
两条对角线相交于点
，
，

cm，一动点
以1cm/s的速度沿折线
运动，

则点
围成的三角形的面积
与点
的运动时间x（s）

之间的函数图象为

A B C D

12. 已知
是定义在
上的增函数，且满足
，
．则不等式
的解
集是

A.
B.

C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题，共84分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分,

13. 在平面直角坐标系中，点
关于x轴的对称点的坐标为

14. 函数
的定义域是

15. 已知
，全集
, 则

16. 如图，边长为1的菱形
中，
，连结对角

线
，以
为边作第二个菱形
，使
；

连结
，再以
为边作第三个菱形
，使

；……，按此规律所作的第
个菱形的面积为 ．

17. 设二次函数
，如果
，

则
的取值范围是

18. 如下图，一个圆心角为270°，半径为2m的扇形工件，未搬动前如图所示，

两点触地放置，搬动时，先将扇形以
为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再

使它紧贴地面滚动，当
两点再次触地时停止，则圆心
所经过的路线长是

m．（结果保留
）

www.zxxk.com 学科网

三
、解答题

19. （本题10分）有三张正面分别写有数字
的卡片，它们的背面完全相同，

将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为
的值。放回

卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为
的值，两次结

果记为
。

（I） 用树状图或列表法表示
所有可能出现的结果；

（II）求使分式
有意义的
出现的概率；

（III）化简分式
；并求使分式的值为整数
的
出现的概率。

20. （本题10分）

已知：图1为一锐角是30°的直角三角尺，其边框为透明塑料制成 (内、外直角三角形对应边互相平行且三处所示宽度相等)．

操作：将三角尺移向直径为6cm的⊙O，它的内Rt△ABC的斜边AB恰好等于⊙O的直径，它的外Rt△A′B′C′的直角边A′C′ 恰好与⊙O相切(如图2)。

解答：( I ) 求直角三角尺边框的宽。

( II) 求证：
BB′C′+
CC′B′=75°。

(III) 求边B′
的长。

21. （本题10分）如果一条抛物线
与x轴有两个交点，那

么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线

三角形”．

（I）“抛物线三角形”一定是____________三角形（提示：在答题卡上作答）；

（II）若抛物线


的“抛物线三角形”是
直角

三角形，求
满足的关系式；

（III）如图，△OAB是抛物线

的“抛物线三角形”，是

否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三

点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

[来源:学科网]

22. （本题12分）

( I ) 阅读理解：

① 对于任意正实数
，

只有当
时，等号成立．

② 结论：在
（
均为正实数）中，若
为定值
， 则
，

只有当
时，
有最小值
．

( II ) 结论运用：根据上述内容，回答下列问题：（提示：在答题卡上作答）

① 若
，只有当
时，
有最小值 ．

② 若
，只有当
时，
有最小值 ．

(III) 探索应用：

学校要建一个面积为392 m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4 m的小路（如图所示）。问游泳池的长和宽分别为多少米时，共占地面积最小？并求出占地面积的最小值。

23. （本题12分）已知
．

( I ) 判断
的奇偶性；

( II ) 判断
的单调性，并证明你的结论；

(III) 当
时，
≥
恒成立，求
的取值范围．

24. （本题12分）Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝2，如图1，将△ABC置于坐标系

中，使BC边落在y 轴正半轴上，点B位于原点处，点A位于第一象限．将顶

点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上向右、向下滑动，当点C与原点重合时停

止滑动．

（I） ① 如图2，若AC＝2，B点右滑的距离OB是1，求C点下滑的距离和

AC所在的直线解析式；

② 如图2，点C继续滑动多远时，C点下滑距离CN与B点右滑距离BM

相等；

（II）如图3，在滑动的过程中BC的中点P也随之移动，求整个过程中P点移

动路径的长度；

（III）若AC＝
，求滑动的过程中A到原点O的最大距离以及此时点A的坐

标．

[来源:学科网ZXXK]

命题、校对：孙长青

吉林市普通高中2013—2014学年度摸底考试

高一数学参考答案

一、选择题：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



D

C

A

B

B

C

A

C

D

A

C

B



二、填空题：

13.
； 14.
；15.
，注：填区间也
可以；

16.
，注：也可以填
；17.
；18.
[来源:学科网]

三、解答题

19. 解：（1）树状图如下：

共有（—2，—2），（—2，—1），（—2，1），（—1，—2），（—1，—1），（—1，1），（1，—2），（1，—1），（1，1）9种可能出现的结果。
………………3分

（2）要使分式有意义，必须
，即
，

符合条件的有（—2，—1），（—2，1），（—1，—2），（1，—2）四种结果， ……………5分

∴ 使分式
有意义的（x，y）出现的概率为
。 ……………6分

（3）

………
…………………8分

能使
的值为整数的有（—2，1），（1，—2）两种结果，其概率为
。 ………………10分

20. （本题10分）

解（1）如图2，设
与圆的切点为D，连结OD,交AC于点E，

1.5
,
∥
,
,

…………………………4分

（2）证明:如图2，因为点B到
两边距离相等，所以点B在
的平分线上，[来源:学&科&网]

所以
…………………………6分

同理
，所以
BB′C′+
CC′B′=75° …………………………7分

（3）如图1，分别过点B,C作
,垂足为P,Q

在
中，

在
中，
, 又

…………………………10分

21. 解：（I）等腰 …………………………2分

（II）设抛物线线与x轴的交点为A,B，当
=0时，得

所以
,
， …………………………4分

又因为抛物线顶点
由已知三角形PAB是等腰直角三角形，所以
，[来源:Zxxk.Com]

所以
，整理得
…………………………6分

（3）分别作点A,B关于原点O的对称点C,D,所以四边形ABCD是平行四边形，所以当

OA=OB时，四边形ABCD是矩形，三角形OAB是等边三角形

，所以A点坐标是
，又点B坐标是

， …………
………………8分

所以

设过O、C、D三点的抛物线为
，因为过点C，所以

所以存在以原点O为对称中心的矩形ABCD

所求抛物线的表达式为
． …………………………10分

22. 解(II)（1） 1 ，2 …………………………………………………3分

（2）3，10 …………………………………………………6分

(III) 设游泳池的长为x m，则游泳池的宽为m,又设占地面积为y m2，依题意，

得
…………………………………………………8分

整理y=424＋4(x＋)≥424＋224=648 …………………………………………………10分

当且仅当x=即 x=28时取“=”.此时=14

所以游泳池的长为28m，宽14m时，占地面积最小，占地面积的最小值是648 m2。 …………12分

23. 解：(I)函数定义域为R，

为奇函数， …………2分

(II)设