汶上一中2013—2014学年高一10月月考

数学

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1.已知全集U＝{0,1,2,3,4,5}，集合M＝{0,3,5}，N＝{1,4,5}，则集合[来源:学*科*网Z*X*X*K]

M∩(?UN)等于(　　)

A．{5} B．{0,3} C．{0,2,5} D．{0,1,3,4,5}

2．满足A∪{－1,1}＝{－1,0,1}的集合A共有(　　)

A．2个 B．4个 C．8个 D．16个

3.集合Ａ＝{
|2<
≤5}，Ｂ＝
若
则a的取值范围为（　 ）

Ａ.ａ＜２ B.ａ＞２　　 Ｃ.ａ
２　　Ｄ.ａ
２

4.下列函数
中,在区间
上是增函数的是（ ）

A.
B.
C.
D.

5.设
是定义
在
上的一个函数，则函数
在
上一定是（ ）

A. 奇函数 B. 偶函数

C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 [来

6.三个数
的大小关系为（ ）

A.
B.

C.
D.

7．若偶函数
在
上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）

A.
B.

C.
D.

8. 已知函数
，
，则
的最小值是（ ）

A . 1 B.
C.
D.

9. 若奇函数
在
上为增函数，且有
最小值0，则它在
上（
）

A.是减函数，有最小值0 B.是增函数
，有最小值0[来源:学科网ZXXK]

C.是减函数，有最大值0 D.是增函数，有最大值0

10.设
，函数
在区间
上的最大值与最小值之差为
，则
（ ）

A.

B.2 C.
D.4

11．若
，且
，
，
，则下列式子正确的个数 （ ）

①
②
③
④

A.0个
B.1个 C.2个 D.3个

12.函数
的定义域
是 （ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.已知Ａ＝
，
＝
，
＝
则Ｂ＝________

14．若不等式x2＋mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是________．

15．若偶函数
在
上为增函数，则满
足
的实数
的取值范围是___

16．已知函数
在区间
上是单调函数，实数
的取值范围________．

三．解答题（共6题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）

17．(本小题满分10分)

设全集U＝R，A＝{x|x<－3或x>2}，B＝{x|
－1

(1)?U(A∩B)； (2)(?UA)∪(?UB)； (3)A∪B.

18.(本小题满分12分)

已知
是定义在
上的奇函数，且当
时
，
．

(1)求
的表达式；

(2)判断并证明函数
在区间
上的单调性．

19．(本小题满分12分)

已知函数
，

（1）当
时，判断并证明
的
奇偶性；

（2）是否存在实数
，使得
是奇函数？若存在，求出
；若不存在，说明理由。

20．(本小题满分12分)

设f(x)为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x；当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点在P(3,4)，且过点A(2,2)的二次函数图象的一部分．

(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；

(2)在直角坐标
系中直接画出函数f(x)的图象；

(3)写出函数f(x)的值域．

21．(本小题满分12分)

扬州某公司生产的新产品的成本是2元/件，售价是3元/件，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x(万元)时，产品的销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：

x


…

1

2

…

5

…



y

…

1.5

1.8

…

1.5

…[来源:学§科§网]



(1)求y与x的函数关系式；

(2)如果利润＝销售总额－成本费－广告费，试写出年利润S(万元)与广告费x(万元)的函数关系式；并求出当广告费x为多少万元时，年利润S最大．

22. (本小题满分12分)

已知函数
＝x2－4x＋a＋3，g(x)＝mx＋5－2m．

(1)
若方程f(x)=0在[－1，1]上有实数根，求实数a的取值范围；

(2)当a＝0时，若对任意的
x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的取值范围；

(3)若函数y＝f(x)（x∈[t，4]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为7－2t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（注：区间[p，q]的长度为q－p）．

[来源:学科网ZXXK]

[来源:Zxxk.Com][来源:学+科+网Z+X+X+K]

参考答案:

1-5 BBBAA 6-10 DDBDD 11-12 BB

13．{-3,1,3,4,6} 13．－2

14．
16.
或
时

17．解：(1)∵A∩B＝{x|x<－3或x>2}∩{x|－1

∴?U(A∩B)＝{x|x≤2或x≥3}．

(2)(?UA)∪(?UB)＝{x|－3≤x≤2}∪{x|x≤－1或x≥3}＝{x|x≤2或x≥3}．

(3)A∪B＝{x|x<－3或x>2}∪{x|－1－1}．

18.(1) 解：∵
是奇函数，∴对定义域
内任
意的
，都有
--1分

令
得，
，即

∴当
时，

又当
时，
，此时
---5分

故

(2) 解：函数
在区间
上是减函数，下面给予证明．

设
，则

∵

∴
，
即

故函数
在区间
上是减函数．

19．（1）
。当
时
，
，

， ∴f（x）是偶函数。

（2）假设存在实数a使得f（x）是奇函数，zxxk

∵
，
，[来源:Z&xx&k.Com]

要使
对任意x∈R恒成立，即
恒成立，有

，即
恒成立，

∴

20．解：(1)由条件可得当x>2时，函数解析式可以设为f(x)＝a(x－3)2＋4，

又因为函数f(x)过点A(2,2)，代入上述解析式可得

2＝a(2－3)2＋4，解得a＝－2.

故当x>2时，f(x)＝－2(x－3)2＋4.

当
x<－2时，－x>2，又因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－2(x＋3)2＋4.

所以当x∈(－∞，－2)时，

函数的解析式为f(x)＝－2(x＋3)2＋4.

(2)根据偶函数的图象关于y轴对称，故只需
先作出函数f(x)在[0，＋∞)上的图象，然后再作出它关于y轴的对称图象即可．

又因为f(x)＝

所以函数f(x)的图象如图所示．

(3)根据函数的图象可得函数f(x)的值域为(－∞，4]．

21．解：(1)由于y是x的二次函数，所以可设函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(x≥0)；
由于点(1,1.5)、(2,1.8)、(5,1.5)在函数图象上，所以[来源:学科网ZXXK]

解得

所以所求函数的解析式为y＝－x2＋x＋1，(x≥0)．

(2)当投入广告费x万元时，
产品的销量是10y万件，成本2元/件，售价3元/件，每件获得利润1元，共获利10y(3－2)＝10y万元，由题意得

S＝10y(3－2)－x＝10(－x2＋x＋1)－x

＝－x2＋5x＋10＝－(x－)2＋(x≥0)．

当x＝时，Smax＝.

即当投入2.5万元广告费时，年利润最大．

22.解：(1)：因为函数
＝x2－4x＋a＋3的对称轴是x＝2，

所以
在区间[－1，1]上是减
函数，

因为函数在区间[－1，1]上存在
零点，则必有：

即
，解得
，

故所求实数a的取值范围为[－8，0] ．

(2)若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f(x1)＝g(x2)成立，只需函数y＝f(x)的值域为函数y＝g(x)的值域的子集．

＝x2－4x＋3，x∈[1，4]
的值域为[－1，3]，下求g(x)＝mx＋5
－2m的值域．

①当m＝0时，g(x)＝5－2m为常数，不符合题意舍去；

②当m＞0时，g(x)的值域为[5－m，5＋2m]，要使[－1，3]
[5
－m，5＋2m]，

需
，解得m≥6；

③当m＜0时，g(x)的值域为[5＋2m，5－m]，要使[－1，3]
[5＋2m，5－m]，

需
，解得m≤－3；

综上，m的取值范围为
．

(3)由题意知
，可得
．

①当t≤0时，在区间[t，4]上，f(t)最大，f(2)最小，

所以f(t)－f(2)＝7－2t即
t2－2t－3＝0，解得t＝－1或t＝3（舍去）；

②当0＜t≤2时，在区间[t，4]上，f(4)最大，f(2)最小，

所以f(4)－f(2)＝7－2 t即4＝7－2t，解得t＝
；

③当2＜t＜
时，在区间[t，4]上，f(4)最大，f(t)最小，

所以f(4)－f(t)＝7－2t即t2－6t＋7＝0，解得t＝
（舍去）

综上所述，存在常数t满足题意，t＝－1或
．