2013—2014学年度第一学期高一年级二调考试

数学试卷

考试时间：120分钟 总分：150分

第Ⅰ卷

选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M=
，集合
为自然对数的底数），则
= （ ）

A．
B．
C．
D．

2. 已知集合
，集合
，且
，则满足
的实数a可以取的一个值是( ) A．0 B．1 C．2 D．3

3..设
，
，
，则它们的大小关系是（ ）

A.
 B.
 C.
 D.


4、已知
是上的增函数，令
，则
是上的（ ）

A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增

5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．2 B．1 C．
D．

6．若函数
在上既是奇函数，又是减函数，则
的图像是（ ）

7.已知函数
的定义域为，满足
，且当
时，
，

则
等于（ ）

A．
 B．
 C．
 D．


8．函数
的图象大致是（ ）

9. 已知函数
是奇函数,当
时,
,则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

10．下列说法中正确的说法个数为①由1，
，1.5，
，0.5 这些数组成的集合有5个元素；②定义在R上的函数
，若满足
，则函数
为奇函数； ③定义在R上的函数
满足
，则函数
在R上不是增函数； ④函数
在区间
上满足
，则函数
在
上有零点；（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

11．若a>l，设函数f（x）=ax+x －4的零点为m，函数g（x）= logax+x－4的零点为n，则
的最小值为（ ）

A．1 B．2 C．4 D．8

12．已知
是方程
的两个根，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．若一个圆锥的侧面展开图是面积为
的半圆面，则该圆锥的体积为 ．

14. 某三角形的直观图是斜边为2的等腰直角三角形，如图所示，则原三角形的面积是____ ．

15.里氏震级是由两位来自美国加州理工学院的地震学家里克特（C.F. Richter）和古登堡（B. Gutenberg）于1935年提出的一种震级标度.里氏震级的计算公式是
.其中是被测地震的最大振幅，
是“标准地震”的振幅. 2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震并引发海啸，造成重大人员伤亡和财产损失. 一般里氏6级地震给人的震撼已十分强烈.按照里氏震级的计算公式，此次日本东北部大地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的________倍.

16．设定义在R上的函数
＝
若关于x的方程
＋
＋c＝0有3个不同的实数解
，
，
，则
＋
＋
＝ ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

设集合
，
，分别求满足下列条件的实数的取值范围：（1）
；（2）
．

18．（本小题满分12分）

已知函数
的定义域为
，

（1）求
；

（2）当
时，求函数
的最大值。

19．（本小题满分12分）

已知一个几何体的三视图如图所示。（1）求此几何体的表面积；（2）如果点
在正视图中所示位置：为所在线段中点，
为顶点，求在几何体表面上，从点到
点的最短路径的长。

20．（本小题满分12分）

已知函数
定义域为
，若对于任意的
，都有
，且
时，有
.

（1）证明函数
的奇偶性；

（2）证明函数
的单调性；

（3）设
,若
<
,对所有
恒成立,求实数的取值范围.

21．（本小题满分12分）

某地政府招商引资,为吸引外商,决定第一年产品免税.某外资厂该年型产品出厂价为每件
元,年销售量为
万件，第二年，当地政府开始对该商品征收税率为
，即销售
元要征收元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件
元，预计年销售量将减少万件．

(1) 将第二年政府对该商品征收的税收(万元)表示成的函数，并指出这个函数的定义域；

(2) 要使第二年该厂的税收不少于
万元，则的范围是多少？

(3) 在第二年该厂的税收不少于
万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则应为多少？

22. （本小题满分12分）

已知函数
，其中e是自然数的底数，
，

（1）当
时，解不等式
；

（2）当
时，试判断：是否存在整数k，使得方程
在

上有解？若存在，请写出所有可能的k的值；若不存在，说明理由；

（3）若当
时，不等式
恒成立，求a的取值范围。

高一理科二调数学测试题参考答案

1. D 2.D 3.A 4.B 5.C 6.A 7.B 8. D 9.C 10.A 11．A 12．C

13.
14.
15. 1000 16．易知
的图象关于直线x＝1对称．
＋
＋c＝0必有一根使
＝1，不妨设为
，而
，
关于直线x＝1对称，于是
＋
＋
＝3．

17. 解：∵　
，
…… 2分

（1）当
时，有
， …… 4分

解得
∴　
…… 6分

（2）当
时，有
，

应满足
或
　　　　　解得
或
…… 10分

18. 解：（1）函数
有意义，故：

解得：
……6分

（2）

，令
，

可得：
，对称轴

当
时，
,

当
时, ,……10分

综上可得：
……12分

19.

解：（1）由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和。

，
，
，

所以
。……6分

（2）沿点与
点所在母线剪开圆柱侧面，如图。

则，

所以从点到
点在侧面上的最短路径的长为
。……12分

20. 解：（1）因为有
，

令
，得
，所以
， ……1分

令
可得：

所以
，所以
为奇函数. ……4分

（2）
是定义在
上的奇函数,由题意

则
，

由题意
时，有
.

是在
上为单调递增函数; ……8分

（3）因为
在
上为单调递增函数，

所以
在
上的最大值为
， ……9分

所以要使
<
,对所有
恒成立，

只要
>1,即
>0， ……10分

令

，
……12分

21. 解: (1)依题意,第二年该商品年销量为(
)万件,年销售收入为 (
)
 万元, 政府对该商品征收的税收
(
)
 (万元).

故所求函数为
(
)．　…… 2分

由


得,定义域为
 ……4分

(2)解:由
得
(
)
,化简得
， …… 6分

即
，解得
，

故当
，税收不少于１６万元．…… 8分

(3) 解：第二年，当税收不少于１６万元时，厂家的销售收入为

(
)

（
）．　
在区间
上是减函数,

(万元) 故当
时,厂家销售金额最大. …… 12分

22. 解：（1）
即
，由于
，所以

所以解集为
；…………………………………2分

（2）方程即为
，设
，

由于
和
均为增函数，则
也是增函数，

又因为
，
，

所以该函数的零点在区间
上，又由于函数为增函数，所以该函数有且仅有一个零点，所以方程
有且仅有一个根，且在
内，所以存在唯一的整数
。…………6分

（3）当
时，即不等式
恒成立，

①若
，则
，该不等式满足在
时恒成立；……… 7分

②由于
，

所以
有两个零点，

若
，则需满足
即
，此时无解；…………9分

③若