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汶上一中2013—2014学年高二上学期期末模拟考试 数学（文） 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上) 1. “x=1”是“”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.抛物线y＝ax2的准线方程是y－2＝0，则a的值是( ) A. B．－ C．8 D．－8 3.给出命题：p:3>5,q:4∈{2,4},则在下列三个复合命题:“pq”，“pq”，“p”中,真命题的个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 4.已知命题，，则( ) A．, B．, C．,≤ D．,≤ 5.如果椭圆上一点到焦点的距离等于3，那么点到另一个焦点的距离是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 6.椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（ ） A．2 B． C． D．4 7．抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则p的值为（ ） A．6 B．-6 C．－4 D．4 8.已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为（ ） A．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1[ 9. 已知函数在时取得极值, 则 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( ) A．18 B．24 C．36 D．48 11.设F1和F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若F1、F2、P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B． C. D．3 12. 设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( ) A.－＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 二、填空题（每小题5分，共20分） 13.已知椭圆方程为，则它的离心率是__________. 14.已知双曲线的焦点为，离心率为，则双曲线的方程是 _________ 15.曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为 . 16.右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分10分） 已知函数图像上的点处的切线方程为． （1）若函数在时有极值，求的表达式； （2）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 18.（本小题满分12分） 根据下列已知条件求曲线方程 (1)求与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程； (2)求与椭圆＋＝1有相同离心率且经过点(2，－)的椭圆方程． 19.(本小题满分12分) 已知抛物线y2＝4x的焦点是F，准线是l，过焦点的直线与抛物线交于不同两点A，B，直线OA(O为原点)交准线l于点M，设A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1) 求证：y1y2是一个定值； (2) 求证：直线MB平行于x轴． 20.（本小题满分12分） 求与圆(x＋2)2＋y2＝2外切，并且过定点B(2,0)的动圆圆心M的轨迹方程． 21．（本小题满分12分） 已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上.又知此抛物线上一点A(1，m)到焦点的距离为3. (1)求此抛物线的方程； (2)若此抛物线方程与直线y＝kx－2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值.[来源:学科网] 22. （本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P、Q， (1)若；求直线l的斜率k的值； (2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量与共线，如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由. 参考答案; 1-5 ABCCD 6-10 CBADC 11-12 AD 13. 14. 15. 2 16. 17.f′(x)＝－3x2＋2ax＋b， [来源:学科网] 因为函数f(x)在x＝1处的切线斜率为－3， 所以f′(1)＝－3＋2a＋b＝－3， ?????????? 又f(1)＝－1＋a＋b＋c＝－2得a＋b＋c＝－1. (1)函数f(x)在x＝－2时有极值，所以f′(－2)＝－12－4a＋b＝0 解得a＝－2，b＝4，c＝－3 所以f(x)＝－x3－2x2＋4x－3. (2)因为函数f(x)在区间[－2,0]上单调递增，所以导函数f′(x)＝－3x2－bx＋b在区间[－2,0]上的值恒大于或等于零， 8分 则，得b≥4， 10分 所以实数b的取值范围为[4＋∞) 18.解：（1）设与双曲线共渐近线的双曲线方程为： ∵点在双曲线上，∴ ∴所求双曲线方程为：，即． (2)法一：∵e＝＝， [来源:学_科_网] 若焦点在轴上设所求椭圆方程为＋＝1(m>n>0)， 则1－()2＝，从而()2＝，＝，又＋＝1，∴m2＝8，n2＝6， ∴方程为＋＝1. 若焦点在y轴上，设方程为＋＝1(m>n>0)则＋＝1，且＝， 解得m2＝，n2＝.故所求方程为＋＝1. 法二：若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为＋＝t(t>0)，将点(2，－)代入，得 t＝＋＝2，故所求方程为＋＝1. 若焦点在y轴上，设方程为＋＝λ(λ>0)代入点(2，－)， 得λ＝，∴＋＝1.… 19. 圆(x＋2)2＋y2＝2的圆心为A(－2,0)，半径为. 设动圆圆心为M（x，y），半径为r. 由已知条件，知?|MA|－|MB|＝， 所以点M的轨迹为以A、B为焦点的双曲线的右支， 且a＝， c＝2，所以b2＝. 所以M点的轨迹方程为－＝1(x>0)． 20． (1)法1：抛物线y2＝4x的焦点是F(1，0)， 设直线AB的方程是：x＝my＋1 代入y2＝4x整理得：y2－4my－4＝0， 显然Δ＝16m2＋16>0 而A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y2＝－4.[来源:学科网] 法2: 由与共线(A、B、F三点共线)来证明． (2)据题意设A，M(－1，yM)，[来源:学_科_网] 由A、M、O三点共线有＝y1yM＝－4， 又y1y2＝－4 则y2＝yM，故直线MB平行于x轴．(12分) 21. (1)由题意设抛物线方程为y2＝2px（p>0）， 其准线方程为x＝－， ∵A(1，m)到焦点的距离等于A到其准线的距离. ∴1＋＝3，∴p＝4. ∴此抛物线的方程为y2＝8x. (2)由， 消去y得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，∵直线y＝kx－2与抛物线相交于不同的两点A、B， 则有，解得k>－1且k≠0. 又∵x1＋x2＝＝4， 解得k＝2或k＝－1(舍去). ∴所求k的值为2. 22.解：（1）设直线 由 或（舍） （2）设，则 因为与共线等价于 由上述式子可得：
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