汶上一中2013—2014学年高二上学期期末模拟考试

数学（理）

一、选择题（共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上．）

1. 命题“

，
”的否定是（　　）

A．

，
B．

，

C．

，
D．

，

2．抛物线
的焦点坐标是（　　）

A．
B．
C．
D．

3.已知椭圆方程
,双曲线
的焦点是椭圆的顶点,顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率（　　）

A．
B．
C．2 D．3

4. 有下列四个命题：

①“若
, 则
互为相反数”的
逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若
,则
有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；

其中真命题为（　　）

A．①② B．①③
C．②③ D．③④[来源:学#科#网Z#X#X#K]

5
. 设集合
，集合
，则
是
的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 已知双曲线的渐近线为
，且双曲线的焦点与椭圆
的焦点相同，则双曲线方程为（　　）

A．
B．

C．
D．

7. 直线l: x－2y+2=0过椭圆的左焦点F和一个顶点B, 则该椭圆的离心率为（　　）

A.
B.
C.
D.

8. 已知平面
过点
，
，
，则原点
到平面
的距离为（　　）

A．3 B．6 C．
D．

9.设F1，F2是椭圆＋＝1(a>5)的两个焦点，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（　　）

A.10

B.20

C.2

D.4

10．在四面体
中，
已知棱
的长为
，其余各棱长都为
，则二面角
的余弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角是( 　)

A．90°　 B．60° C．45°　 D．30°

12 ．
已知抛物线
的焦点
与双曲线
的右焦点重合，抛物线的准线与
轴的交点为
，点
在抛物线上且
，则△
的面积为（ 　）

A．4 B．8 C．16 D．32

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分. 请将正确的答案填写到答题卷的相应位置上）

13．若lgx+lgy=1，则
的最小值为____.

14．已知
，
满足不等式组
那么
的最小值是__________.

15.已知双曲线C： － 
＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是__
______．

16．已知双曲线
的左、右焦点分
别为F1、F2，点P在双曲线上，且PF2⊥x轴，则F2到直线PF1的距离为　　　．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

等差数列{
}的前n项和记为Sn.已知

（1）求通项
；

（2）若Sn=242，求n.

18.( 本小题满分12分)

已知双曲线与椭圆
共焦点，且以
为渐近线。

（1）求双曲线方程．

（2）求过双曲线右焦点且倾斜角为
的直线方程

19.(本小题满分12分)

已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：(x＋2)2＋y2＝r2(r>0)，设圆T与椭圆C交于点M与点N.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求·的最小值，并求此时圆T的方程；

(3)设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：·为定值.

20.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝ex，x∈R.

(1)若直线y＝kx＋1与f(x)的反函数的图象相切，求实数k的值；

(2)设x>0，讨论曲线y＝与直线y＝m(m>0)公共点的个数；

(3)设函数h满足x2h′(x)＋2xh(x)＝，h(2)＝，试比较h(e)与的大小.

21. （本小题满分12分）

如图在四棱锥
中,
丄平面
,
丄
,
丄
,
,
,
.建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题：

(1)证明
;

(2)求二面角
的余弦值;

(3)设
为棱
上的点,满足异面直线
与
所成的角为
,求
的长.

22. （本小题满分12分）

已知椭圆
:
的离心率为
,且过点
.直线
交椭圆
于
,
(不与点
重合)两点.

(1)求椭圆
的方程;

(2)△ABD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

[来源:学*科*网Z*X*X*K]

[来源:学#科#网]

参考答案：

1-5 BCCBB 6-10 DDCDC 11-12 BD

13．　２　　　　14．　３　　　15. (4，＋∞) 16.

17. （1）由
得方程组

解得
所以

（2）由
得方程

解得

18.（1）椭圆的焦点坐标为
, 设双曲线方程为

则渐近线方程为

所以

解得

则双曲线方程为

（2）
直线的倾斜角为

直线的斜率为
，

故直线方程为

即

19.(1)依题意，得a＝2，e＝＝，∴c＝，b＝＝1；

故椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)方法一：点M与点N关于x轴对称，

设M(x1，y1)，N(x1，－y1)，
不妨设y1>0.

由于点M在椭圆C上，

所以y＝1－.

由已知T(－2,0)，则＝(x1＋2，y1)，＝(x1＋2，－y1)，

∴·＝(x1＋2，y1)·(x1＋2，－y1)＝(x1＋2)2－y＝(x1＋2)2－＝x＋4x1＋3＝2－.(6分)

由于－2

由(*)式，y1＝，故M

，又点M在圆T上，代入圆的方程得到r2＝.

故圆T的方程为：(x＋2)2＋y2＝.(8分)

(3)设P(x0，y0)，则直线MP的方程为：

y－y0＝(x－x0)，

令y＝0，得xR＝，同理：xS＝，(10分)

故xR·xS＝(**)(11分)

又点M与点P在椭圆上，故x＝4(1－y)，x＝4(1－y)，(12分)

代入(**)式，得：xR·xS＝＝＝4.

所以·＝·＝＝4为定值.(13分)

20.解：(1)f的反函数g(x)＝ln x.设直线y＝kx＋1与g(x)＝ln x相切于点P(x0，y0)，则?x0＝e2，k＝e－2.所以k＝e－2.

(2)当x>0，m>0时，曲线y＝f(x)与曲线y＝mx2(m>0)的公共点个数

即方程f(x)＝mx2根的个数.

由f(x)＝mx2?m＝，令v(x)＝?v′(x)＝，

则v(x)在(0,2)上单调递减，这时v(x)∈(v(2)，＋∞)；

v(x)在(2，＋∞)上单调递增，这时v(x)∈(v(2)，＋∞).v(2)＝.

v(2)是y＝v(x)的极小值，也是最小值.(5分)

所以对曲线y＝f(x)与曲线y＝mx2(m>0)公共点的个数，讨论如下：

当m∈时，有0个公共点；

当m＝时，有1个公共点；

当m∈时有2个公共点；(8分)

(3)令F(x)＝x2h(x)，则F′(x)＝x2h′(x)＋2xh＝

所以h＝，故h′＝＝＝

令G(x)＝ex－2F(x)，则G′(x)＝ex－2F′(x)＝ex－2·＝

显然，当0

当x>2时，G′(x)>0，G(x)单调递增；

所以，在(0，＋∞)范围内，G(x)在x＝2处取得最小值G(2)＝0.

即x>0时，ex－2F(x)≥0.

故在(0，＋∞)内，h′(x)≥0，

所以h(x)在(0，＋∞)单调递增，

又因为h(2)＝＝>，h(2)

所以h(e)>.(14分)[来源:学科网]

21．解：（1）以
为
正半轴方向，建立空间直角左边系

……4分

得：二面角
的余弦值
。……8分

（3）设
；则
，
，

即
。

22.(1)

,
,


,
,

(2)设
,
,由

…6分[来源:学科网ZXXK]

,

①
②

,

设
为点
到直线BD:
的距离,

当且仅当

时等号成立

∴当
时,
的面积最大,最大值为