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| 简介：
一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题只有一项是正确的） 1．（5分）（2013?青岛一模）若a、b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A． a2＞b2 B． C． lg（a﹣b）＞0 D．
2．（5分）（2012?江西模拟）底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其主视图有最大面积时，其左视图的面积为（ ）
A． B． 3 C． D． 4
3．（5分）（2012?信阳模拟）已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2013?眉山二模）等比数列{an}的公比q＞1，，，则a3+a4+a5+a6+a7+a8等于（ ）
A． 64 B． 31 C． 32 D． 63
5．（5分）已知tan（α﹣β）=，且α，β∈（0，π），则2α﹣β=（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H使，则（ ）
A． EF∥GH B． EF，GH是异面直线
C． EF∩GH=M，且M在直线BD上 D． EF∩GH=M，且M在直线AC上
7．（5分）（2012?浙江模拟）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＞0，S10＜0，则中最大的是（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）（2013?房山区二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D． 9
9．（5分）已知曲线y=2sin（x+）cos（）与直线y=相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为P1，P2，P3，…，则||等于（ ）[来源:Z_xx_k.Com]
A． π B． 2π C． 3π D． 4π
10．（5分）半径为R的球O中有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的表面积的比值为（ ）
A． B． 1 C． D． 2
11．（5分）设函数f（x）=2x﹣cos4x，{an}是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a8）=11π，则=（ ）
A． 0 B． C． D．
12．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，D为AB边上一点，且CD⊥AB，CD=AB，则的最大值为（ ）
A． 2 B． C． D．[来源:学科网ZXXK] 3
二、填空题（本题共四小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）（2012?佛山一模）已知向量=（x，2），=（1，y），其中x＞0，y＞0．若?=4，则+的最小值为 _________ ．
14．（5分）给出下列关于互不相同的直线m，l和平面α，β的四个命题 ①m?α，l∩α=A，a?m，则l，m是异面直线 ②m?α，l?β，m∥l，则α∥β ③m?α，l?α，m∥β，l∥β，l∩m=A，则α∥β ④若α∩β=m，l∥m且l?α，l?β，则l∥a且l∥β 其中正确命题是 _________ （填序号）
15．（5分）（2012?吉安县模拟）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 _________ ．
16．（5分）已知数列{an}满足an+（﹣1）n+1an+1=2n﹣1，则{an}的前40项和S40= _________ ．
三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知α为锐角且， （1）求tanα的值； （2）求的值．
18．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上一点 （1）求三棱锥A﹣MCC1的体积； （2）当A1M+MC取得最小值时，求AM与A1C所成角的余弦值．
19．（12分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且 （1）求B[来源:学科网ZXXK] （2）若b=2，△ABC的面积为，求a，c．
20．（12分）已知数列{an}中， （1）求数列{an}的通项an； （2）令bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn．
21．已知函数f（x）=（x+2）|x﹣a| （1）当a=2时，解不等式f（x）＞3x； （2）当x∈[﹣1，1]时，f（x）＜3恒成立，求实数a的取值范围．
22．（12分）在数列{an}中， （1）求数列{an}的通项an； （2）求证：a1（a1﹣1）+a2（a2﹣1）+…+an（an﹣1）＜3．
高一（下）第二次月考数学试卷 参考答案与试题解析
一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题只有一项是正确的） 1．（5分）（2013?青岛一模）若a、b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A． a2＞b2 B． C． lg（a﹣b）＞0 D． 考点： 不等关系与不等式．5143500 专题： 探究型． 分析： 由题意a、b是任意实数，且a＞b，可通过举特例与证明的方法对四个选项逐一判断得出正确选项，A，B，C可通过特例排除，D可参考函数y=是一个减函数，利用单调性证明出结论． 点评： 本题考查不等关系与不等式，考查了不等式的判断与大小比较的方法﹣﹣特例法与单调性法，解题的关键是理解比较大小常用的手段举特例与单调性法，及中间量法等常用的方法
2．（5分）（2012?江西模拟）底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其主视图有最大面积时，其左视图的面积为（ ）
A． B． 3 C． D． 4 考点： 简单空间图形的三视图．5143500 专题： 计算题． 分析： 由题意可知三视图的正视图面积最大时是正方形，侧视图是矩形，然后求出面积． 解答： 解：由三视图和题意可知三视图的正视图面积最大时是正方形，底面边长为2，侧棱长2， 侧视图是矩形，长为2，宽为， 所以侧视图的面积为：2， 故选A． 点评： 本题考查由三视图求侧视图的面积，正确判断侧视图的形状是解题的关键．
3．（5分）（2012?信阳模拟）已知，则等于（ ）
A． B． C． D． 考点： 同角三角函数基本关系的运用．5143500 分析： 先将sin（）用两角和正弦公式化开，然后与sinα合并后用辅角公式化成一个三角函数，最后再由三角函数的诱导公式可得答案． 解答： 解：∵sin（）+sinα=sinα++sinα==﹣ ∴∴sin（）=﹣ ∵cos（α+）=cos（）=﹣sin（）= 故选D． 点评： 本题主要考查两角和的正弦公式和三角函数的诱导公式．三角函数部分公式比较多，容易记混，对公式一定要强化记忆．
4．（5分）（2013?眉山二模）等比数列{an}的公比q＞1，，，则a3+a4+a5+a6+a7+a8等于（ ）
A． 64 B． 31 C． 32 D． 63 考点：[来源:学&科&网] 等比数列的前n项和．5143500 专题： 计算题． 分析： 利用等比数列的定义和性质求出 a3=1，公比 q=2，再利用等比数列的前n项和公式求出a3+a4+a5+a6+a7+a8 的值． 解答： 解：∵等比数列{an}的公比q＞1，，， ∴a2?a3=a1?a4= 则 ==3=2（a2+a3）， ∴a2+a3=． 解得 a2=，a3=1，故公比 q=2． ∴a3+a4+a5+a6+a7+a8 ==63， 故选D． 点评： 本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，属于中档题．
5．（5分）已知tan（α﹣β）=，且α，β∈（0，π），则2α﹣β=（ ）
A． B． C． D． 考点： 两角和与差的正切函数．5143500 专题： 计算题． 分析： 利用两角和公式进行化简求解即可． 解答： ∵tan（α﹣β）== 且tanβ= 即tanα= ∵α，β∈（0，π）且tan=1，tan=﹣1 ∴α∈（0，），β∈（，π） 即2α﹣β∈（﹣π，﹣） ∴tan（2α﹣β）==1 即2α﹣β=﹣ 故答案选：C 点评： 考查了两角和公式的应用，属于中档题．
6．（5分）在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H使，则（ ）
A． EF∥GH B． EF，GH是异面直线
C． EF∩GH=M，且M在直线BD上 D． EF∩GH=M，且M在直线AC上 考点： 空间中直线与平面之间的位置关系．5143500 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 利用使，可得EF∥BD，FG∥BD，利用平行的传递性可证明EH∥FG． 解答： 解：连结BD，因为， 所以EF∥BD，FG∥BD， 即EH∥FG． 故选A． 点评： 本题主要考查直线平行的判定以及直线平行的应用，比较基础．
7．（5分）（2012?浙江模拟）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＞0，S10＜0，则中最大的是（ ）
A． B． C． D． 考点： 等差数列的性质．5143500 专题： 计算题；压轴题． 分析： 由，可得，a5＞0，a6＜0 结合等差数列的通项可得，a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞0＞a6＞…即可得，，则可得 解答： 解：∵， ∴a5＞0，a5+a6＜0，a6＜0 ∴等差数列{an}中，a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞0＞a6＞… ∴ 则 故选B 点评： 本题主要考查了利用等差数列前n项和公式来判断数列项的取值范围，灵活利用等差数列的性质（若m+n=p+q，则am+an=ap+aq）是解决本题的关键．
8．（5分）（2013?房山区二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D． 9 考点： 由三视图求面积、体积．5143500 专题： 计算题． 分析： 判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可． 解答： 解：三视图复原的几何体是长方体的一个角，如图： 直角顶点处的三条棱长：3，，3．其中斜侧面的高为：3． 几何体的表面积是：=． 故选A． 点评： 本题考查三视图与几何体的关系，判断几何体的形状是解题的关键．
9．（5分）已知曲线y=2sin（x+）cos（）与直线y=相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为P1，P2，P3，…，则||等于（ ）
A． π B． 2π C． 3π D． 4π 考点： 向量的模．5143500 专题： 计算题． 分析： 利用三角函数的恒等变换化简函数y的解析式为y=1+sin2x，由1+sin2x=，解得 2x=2kπ﹣，或 2x=2kπ，k∈z，可分别求点的坐标，可得长度． 解答： 解：曲线y=2sin（x+）?cos（﹣x）=2（sinx+cosx） （cosx+sinx ） =cos2x+sin2x+2sinxcosx=1+sin2x． 由1+sin2x=，解得 2x=2kπ﹣，或 2x=2kπ，k∈z， 即 x=kπ﹣，或 x=kπ﹣，k∈z．故P1、P2、…、P5的横坐标分别为：，，，，． 故||==2π 故选B 点评： 本题考查三角函数的恒等变换，直线与曲线的相交的性质，关键是要求出交点的坐标，属基础题．
10．（5分）半径为R的球O中有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的表面积的比值为（ ）
A． B． 1[来源:学科网] C． D． 2 考点： 球的体积和表面积．5143500 分析： 设出圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，求出圆柱的侧面积表达式，求出最大值，计算球的表面积，即可得到两者的比值． 点评： 本题考查球的内接圆柱的知识，球的表面积，圆柱的侧面积的最大值的求法，考查计算能力，常考题型．是基础题，
11．（5分）设函数f（x）=2x﹣cos4x，{an}是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a8）=11π，则=（ ）
A． 0 B． C． D． 考点： 数列与函数的综合．5143500 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 先设数列{an}的首项为a1，则根据条件可得，2（a1+a2+…+a8）=11π，利用等差数列的求和公式可求得首项a1从而得出a2，a5，最后即可求出的值． 解答： 解：设数列{an}的首项为a1，则根据f（a1）+f（a2）+…+f（a8）=11π，得 2a1﹣cos4a1+2a2﹣cos4a2+…+2a8﹣cos4a8=11π ∴2a1+2a2+…+2a8=11π，即2（8a1+×）=11π， ∴a1=， ∴a2=，a5=+4×=， 则=[2×﹣cos（4×）]2﹣×=． 故选C． 点评： 利用方程思想解决等差数列的问题，正确的列方程或列方程组是解决问题的关键，方程思想是高中数学比较重要的四大思想之一．
12．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，D为AB边上一点，且CD⊥AB，CD=AB，则的最大值为（ ）
A． 2 B． C． D． 3 考点： 余弦定理；正弦定理的应用．5143500 专题： 三角函数的求值． 分析： 三角形的面积公式可得，可得c2=absinC．由正弦定理可得==，又由余弦定理可得a2+b2﹣c2=2abcosC，∴a2+b2=c2+2abcosC．于是==sinC+2cosC=sin（C+φ），再利用正弦函数的单调性即可得出．． 解答： 解：由三角形的面积公式可得，∴c2=absinC． 由正弦定理可得==， 又由余弦定理可得a2+b2﹣c2=2abcosC，∴a2+b2=c2+2abcosC． ∴==sinC+2cosC=sin（C+φ）≤． 故的最大值是． 故选B． 点评： 熟练掌握三角形的面积公式、正弦定理、由余弦定理、正弦函数的单调性等是解题的关键．
二、填空题（本题共四小题，每小题5分，共20分）[来源:Zxxk.Com] 13．（5分）（2012?佛山一模）已知向量=（x，2），=（1，y），其中x＞0，y＞0．若?=4，则+的最小值为 ． 考点： 基本不等式；平面向量数量积的运算．5143500 专题： 计算题． 分析： 由?=4，可得 x+2y=4，则+=+=++，利用基本不等式求出它的最小值． 解答： 解：∵向量=（x，2），=（1，y），其中x＞0，y＞0． 若?=4，则 x+2y=4， 则+=+=++≥+2=， 当且仅当 = 时，等号成立， 故答案为 ． 点评： 本题主要考查两个向量的数量积公式，基本不等式的应用，属于基础题．
14．（5分）给出下列关于互不相同的直线m，l和平面α，β的四个命题 ①m?α，l∩α=A，a?m，则l，m是异面直线 ②m?α，l?β，m∥l，则α∥β ③m?α，l?α，m∥β，l∥β，l∩m=A，则α∥β ④若α∩β=m，l∥m且l?α，l?β，则l∥a且l∥β 其中正确命题是 ①④ （填序号） 考点： 平面与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用．5143500 专题： 计算题；规律型． 分析： 根据空间中异面直线的判定定理，线面垂直的判定方法，线线关系的判定方法，及面面平行的判定定理，我们对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到结论． 解答： 解：对于①：m?α，l∩α=A，A?m，则l与m异面，故①正确； 对于②：m?α，l?β，m∥l，则α∥β，α与β可能相交，所以②不正确； 对于③：m?α，l?α，m∥β，l∥β，l∩m=A，则α∥β，当l与m平行时，α与β可能相交，只有它们相交时，③才正确，所以③不正确； 对于④：α∩β=m，l∥m且l?α，l?β，则l∥a且l∥β；满足直线与平面平行的判定定理，所以正确； 故答案为：①④． 点评： 本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟练掌握空间中线面之间位置关系的定义、判定方法和性质定理，建立良好的空间想像能力是解答此类问题的关键．
15．（5分）（2012?吉安县模拟）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 20π ． 考点： 球内接多面体．5143500 专题： 计算题；压轴题． 分析： 通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积． 解答： 解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°， 可得， 由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2， 设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中， 易得球半径， 故此球的表面积为4πR2=20π 故答案为：20π 点评： 本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．
16．（5分）已知数列{an}满足an+（﹣1）n+1an+1=2n﹣1，则{an}的前40项和S40= 780 ． 考点： 数列的求和．5143500 专题： 点列、递归数列与数学归纳法． 分析： 在递推式中分别取n=1，2，3，…，得到系列的和式与差式，从而得到规律2个相邻奇数项的和都等于﹣2，取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．然后利用分组求和得到答案． 解答： 解：∵an+（﹣1）n+1an+1=2n﹣1， ∴a1+a2=1，a2﹣a3=3，a3+a4=5，a4﹣a5=7，a5+a6=9，a6﹣a7=11，…a39+a40=77． 得a3+a1=﹣2，a4+a2=8，a7+a5=﹣2，a8+a6=24，a9+a7=﹣2，a12+a10=40，… 从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于﹣2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列． 所以{an}的前40项和为． 故答案为780． 点评： 本题考查了数列递推式，考查了数列的求和，解答的关键是代值找规律，是中档题．
三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知α为锐角且， （1）求tanα的值； （2）求的值． 考点： 二倍角的余弦；两角和与差的正切函数．5143500 专题：[来源:Zxxk.Com] 计算题；三角函数的求值． 分析： （1）利用两角和的正切公式，结合题意解关于tanα的方程，即可得tanα的值； （2）根据二倍角的三角函数公式，将原式化简可得原式等于cosα+sinα．再由同角三角函数的关系，结合（1）的结论加以计算，即可算出原式的值． 解答： 解：（1）∵ ∴，即， 解之得tanα=； （2） == ==cosα+sinα ∵知α为锐角且tanα= ∴sinα=，cosα=，可得cosα+sinα=． 点评： 本题已知，求tanα并求三角函数式的值，着重考查了同角三角函数基本关系和二倍角的正弦、余弦公式等知识，属于中档题．
18．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上一点 （1）求三棱锥A﹣MCC1的体积； （2）当A1M+MC取得最小值时，求AM与A1C所成角的余弦值． 考点： 异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．5143500 专题： 计算题；空间角． 分析： （1）由图形直接求出三棱锥的底面积和高，代入体积公式求解； （2）利用侧面展开分析可得当A1M+MC取得最小值时，M为DD1的中点，然后以A为坐标原点，建系后利用空间向量求AM与A1C所成角的余弦值． 解答： 解：（1）如图， 点M到直线CC1的距离等于CD=1，则三角形MCC1面积S=． 点A到平面MCC1的距离为AD=1，则三棱锥A﹣MCC1的体积． （2）当A1M+MC取得最小值时，M为DD1的中点． 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以A为坐标原点， 分别以AB、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系． 如图， 则A（0，0，0），M（0，1，1），A1（0，0，1），C（1，1，0）． 所以，． 所以=． 所以，则AM与A1C所成角的余弦值为0． 点评： 本题考查了锥体的体积，考查了利用空间向量求异面直线所成的角，关键是建立正确的右手系，是中档题．
19．（12分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且 （1）求B （2）若b=2，△ABC的面积为，求a，c． 考点： 余弦定理．5143500 专题： 计算题；解三角形． 分析： （1）已知等式左边第一项利用平方差公式及完全平方公式变形，再利用余弦定理化简，整理后利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sin（B﹣）的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数； （2）由b与cosB的值，利用余弦定理列出关于a与c的方程，再由已知的面积，利用面积公式列出关于a与c的方程，联立即可求出a与c的值． 解答： 解：（1）已知等式变形得：b2﹣a2﹣c2﹣2ac+2absinC=0， 由余弦定理得：cosB=，即a2+c2﹣b2=2accosB， 代入得：﹣2accosB﹣2ac+2absinC=0，即﹣2ccosB﹣2c+2bsinC=0， 利用正弦定理化简得：﹣2sinCcosB﹣2sinC+2sinBsinC=0， ∵sinC≠0，∴﹣2cosB﹣2+2sinB=0，即2sinB﹣2cosB=4sin（B﹣）=2， ∴sin（B﹣）=， ∴B﹣=或， 解得：B=或B=π（舍去）， 则B=； （2）∵S△ABC=acsinB=ac=， ∴ac=4， ∵b=2，cosB=， ∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即4=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac， 将ac=4代入得：（a+c）2=16，即a+c=4， 解得：a=c=2． 点评： 此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及完全平方公式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
20．（12分）已知数列{an}中， （1）求数列{an}的通项an； （2）令bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn． 考点： 数列递推式；数列的求和．5143500 专题： 计算题；等差数列与等比数列． 分析： （1）﹣，移向整理得出an﹣an﹣1=，利用累加法求通项 （2）bn=nan=，利用分组法，再分别利用公式法和错位相消法求和． 解答： 解：（1）﹣， 移向整理得出an﹣an﹣1=， 当n≥2时，an=（an﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a1 ==1+=，n=1时也适合 所以an=， （2）bn=nan=， Tn=﹣（） 令Tn′=，两边同乘以得 Tn′= 两式相减得出Tn′=== Tn′= 所以Tn=﹣（） = | ||||||||||||||||||||||||||||||
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