一、选择题：（每小题5分，共40分）．

1．已知集合
= （ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知直线ax+y+a-1=0不经过第一象限，则与该直线垂直的直线的倾斜角的取值范围（ ）

A
B

C
D

3．一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的体积为 （ ）

A．
B．
C．
D．

4．当
时，在同一坐标系中函数
与
的图像是 （ ）[来源:学科网]

5．正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图是 （ ）

A
B C D

6．已知m、l是直线,
是平面, 给出下列命题:

①若l垂直于
内的两条相交直线, 则
;②若l平行于
, 则l平行
内所有直线;

③若

; ④若
;

⑤若
∥l．

其中不正确的命题的序号是（ ）

A ①②③ B①②④ C ②③④ D ②③⑤

7．设
上的两个函数，若对任意的
，都有
上是“密切函数”，[a，b]称为“密切区间”，设
上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是

A．[1，4] B．[2，3] C．[3，4] D．[2，4]

8．已知函数
满足：①定义域为R；②
，有
；③当
时，
．则方程
在区间
内的解个数是（ ）

A．20 B．12 C．11 D．10

二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共35分
）．

9．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么它们的位置关系式

10．已知集合
，则实数a∈

11．求过点P（6，－4
）且被圆
截得长为
的弦所在的直线方程

12. 已知两定点A(－3，5)，B(2，15)，动点P在直线3x+4y+9＝0上，当
＋
取

最小值时，这个最小值为

13. 如图所示，四边形BCDE是一个正方形，AB⊥平面BCDE,

则图中互相垂直的平面有 对。

14．若直线
的圆心，则
的最小值是 。

15. 当n为正整数时，定义函数N (n)表示n的最大奇因数．如N (3) = 3，N (10) = 5，…．

记
．

则（1）
．（2）
．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共75分)．

16．（12分）已知两条直线l1 = x + my + 6 = 0, l2: (m－2)x + 3y + 2m = 0，问：当m为何值时, l1与l2(i)相交; (ii)平行; (iii)重合．

17．（12分）当前环境问题已成为问题关注的
焦点，为减少汽车尾气对城市空气的污染，某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程，原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说非常小．请根据以下数据：①当前汽油价格为2.8元/升，市内出租车耗油情况是一升汽油大约能跑12km；②当前液化气价格为3元/千克，一千克液化气平均可跑15～16km；③一辆出租车日平均行程为200km.(1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱)；(2)假设出租车改装液化气设备需花费5000元，请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱

18．（12分）自点P（－3，3）发出的光线
经过x轴反射，其反射光线所在直线正好与圆

相切，求入射光线
所在直线的方程．

19．（13分）已知方程
的图形是圆.

（1）求t的取值范围；

（2）求其中面积最大的圆的方程．[来源:学&科&网]

20．（13分）四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=
，

（1）求证：PD⊥平面ABCD；

（2）求证，直线PB与AC垂直；

（3）求二面角A－PB－D的大小；

21．（13分）设平面直角坐标系
中，设二次函数
的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：

（Ⅰ）求实数b 的取值范围；

（Ⅱ）求圆C 的方程；

（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．

高一数学期末测试题参考答案

[来源:学#科#网Z#X#X#K]

二、9、α∥β或α与β相交；10、[1，2] 11．
或
12．5
；13．7；14．
； 15、86、

17．解: (1)设出租车行驶的时间为t天，所耗费的汽油费为W元，耗费的液化气费为P元，由题意可知，W＝×2.8＝(t≥0且t∈N)， ×3≤P≤×3　(t≥0且t∈N)，即37.5t≤P≤40t.又>40t，即W>P，所以使用液化气比使用汽油省钱．

(2)①设37.5t＋5000＝，解得t≈545.5，又t≥0，t∈N，∴t＝546.②
设40t
＋5000＝，解得t＝750.所以，若改装液化气设备，则当行驶天数t∈[546,750]时，省出的
钱等于改装设备的钱.

18．解：设入射光线
所在的直线方程为

，反射光线所在

直线的斜率为
，根据入射角等于反射角，得

，而点P（－3，3）关于x轴的对称点
（－3，－3），根据对称性，点
在反射光线所在

直线上，故反射光线所在直线
的方程为：
即
，又此直线

与已知圆相切，所在圆心到直线
的距离等于半径
，因为圆心为（2，2），半径为1，所以

解得：
故入射光线
所在的直线方程为：

或
即

21 【解析】（Ⅰ）令
＝
0，得抛物线与
轴交点是（0，b）；[来源:学|科|网Z|X|X|K]

令
，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．

（Ⅱ）设所求圆的一般方程为

令
＝0 得
这与
＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝
．

令
＝0 得
＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．

所以圆C 的方程为
.[来源:Z|xx|k.Com]

（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．

证明如下：
可化为
,因为过定点，则与b无关，即y=1代入上式可得x=0或x=-2.所以圆C 必
过定点（0，1）,（－2，1）．