2013—2014学年度第二学期南昌市高二年级期中考试

文科数学（甲卷）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在答卷的相应表格内）

1．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝x是指数函数(小前提)，所以y＝x是增函数(结论)”，上面推理的错误是(　　)

A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错

C．推理形式错导致结论错 D．大前提和小前提错都导致结论错

2．如图所示的框图中“幂函数的定义”“幂函数的图象与性质”与“幂函数”的关系是(　　)

A．并列关系　　B．从属关系 C．包含关系 D．交叉关系

3．以下说法正确是（ ）

A．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直． B．平行于同一条直线的两条直线互相平行；

C．垂直于同一条直线的两个平面互相垂直； D．平行于同一条直线的两个平面互相平行

下面列举的图形一定是平面图形的是(　D　)

4．已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m?β，则α∥β是l⊥m的(　)

A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

5．i是虚数单位，若复数z满足z（2﹣i）=7﹣i，则z等于（　　）

　 A． 1+3i B． 1﹣3i C． 3﹣i D． 3+i

6．下面是一个2×2列联表：

y1

y2

合计



x1

a

c

73



x2

22

25

47



合计

b

46

120



则表中a，b的值分别为

A．94,72 B．52,50 C．52,74 D．74,52

7．下面几种推理中是演绎推理的是

A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电

B．半径为
圆的面积
，则单位圆的面积

C．猜想数列
的通项公式为

D．由平面直角坐标系中圆的方程为
，推测空间直角坐标系中球的方程为

8．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（　　）



9．设函数f(x)＝，类比课本推导等差数列前n项和公式的推导方法计算f(－4)＋f(－3)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(4)＋f(5)的值为()

A. B. C. D.

10．过球面上三点A、B、C的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB=6，BC=8，AC=10，则球的表面积是（　　）

　 A．100π B． 300π C．
π D．
π

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填空在答卷上）

11．复数
的共轭复数是______________ ；

12．已知a1＝3，an＋1＝，试通过计算a2，a3，a4，的值推测出an＝ ；

13．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图）∠ABC=45°，AB=AD=1，DC⊥BC，则这个平面图形的面积为　 　；

14．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：

月平均气温x(℃)

17

13

8

2



月销售量y(件)

24

33

40

55



由表中数据算出线性回归方程＝bx＋a中的b≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月羽绒服的销售量约为________件．

15．
是两个不同的平面，
是平面
及
之外的两条不同的直线，给出四个论断：①
∥
；②
∥
；③
⊥
；④
⊥
．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_______________ ．（用序号及
表示）。

三、解答题（本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.（本小题满分8分）．若复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称,且z1(3－i)＝z2(1＋3i)，|z1|＝，求z1.

17．（本小题满分10分）已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于.

18．（本小题满分10分）以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：

房屋面积(m2)

115

110

80

135

105



销售价格(万元)

24.8

21.6

18.4

29.2

22



(1)画出数据对应的散点图； (2)求线性回归方程；

19．（本小题满分10分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点，O为面对角线A1C1的中点．

(1)求证：平面MNP∥平面A1C1B；(2)求证：MO⊥平面A1C1B.

20．（本小题满分12分）如图,四棱锥
的底面
为菱形,
,

底面
,
,
为
的中点.

(1)求证:
平面
;

(2) 在侧棱
上是否存在一点
,满足
平面
,若存在,求
的长;若不存在,说明理由.

2013—2014学年度第二学期南昌市高二年级期中考试

文科数学（甲卷）参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

题目

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

B

B

B

D

C

B

A

B

D





二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填写在横线上）

11.
12. 2+
13.  14. 46 15. ①③④
② 或 ①②④
③

三、解答题（本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．解：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝－a＋bi，……………………………………………2分

∵z1(3－i)＝z2(1＋3i)，且|z1|＝，

∴解得或………………………6分

则z1＝1－i或z1＝－1＋i.………………………………………………………………………8分

17．证明：假设三式同时大于，即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，……………………2分

三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c>.①

又(1－a)a≤2＝当且仅当a＝时取“＝”号，………………………………………6分

同理(1－b)b≤，(1－c)c≤.所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤，与①式矛盾，……………8分

即假设不成立，故结论正确．……………………………………………………………………10分

18．解：(1)散点图如图所示：



(2)＝i＝109，(xi－)2＝1570，＝23.2，(xi－)(yi－)＝308. …………6分

设所求回归直线方程为＝x＋，

则＝≈0.1962，＝－＝23.2－109×≈1.8166. ……………………8分

故所求回归直线方程为＝0.1962x＋1.8166.……………………………………………10分

19．解：证明：(1)连接D1C，则MN为△DD1C的中位线，∴MN∥D1C.

又∵D1C∥A1B，∴MN∥A1B.同理MP∥C1B. ………………2分

而MN与MP相交，MN，MP?平面MNP，

C1B，A1B?平面A1C1B，∴平面MNP∥平面A1C1B. ………5分

(2)连接C1M和A1M，设正方体的边长为a，

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有C1M＝A1M，又∵O为A1C1的中点，

∴A1C1⊥MO. …………………………………………………6分

连接BO和BM，在三角形BMO中，

经计算知OB＝a，OM＝a，BM＝a，

∴OB2＋MO2＝MB2，即BO⊥MO. ………………………………8分

又A1C1∩BO＝O，∴MO⊥平面A1C1B.……………………………10分

20．解：(1)证明:设
、
相交于点
,连结
,

底面
为菱形,
为
的中点,

又

为
的中点,
………………2分

又

平面
,
平面
,

平面
………………………………5分

(2) 解:因为

底面
,所以
,

又
底面
为菱形,
,

,
平面
,
平面
,

平面
,
………………7分

在
内,易求
,
,

在平面
内,作
,垂足为
,

设
,则有
,解得
………………9分

连结
,
,
,
,
平面
,

平面
,
平面
. ………………11分

所以满足条件的点
存在,此时
的长为
………………………………………12分