2013—2014学年度第二学期南昌市高二年级期中考试

理科数学（乙卷）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在答卷的相应表格内）

1．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，则

A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－ C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝

2．下面列举的图形一定是平面图形的是

A．有一个角是直角的四边形 B．有两个角是直角的四边形

C．有三个角是直角的四边形 D．有四个角是直角的四边形

3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为
，则这个圆锥的全面积是

　 A．
B． 12π C9π． D． 8π

4．设
均为直线,其中
在平面
的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

5．若直线l∥平面α，直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，则下列结论正确的是

A．s＝(－1,0,2)，n＝(1,0，－1) B．s＝(－1,0,1)，n＝(1,2，－1)

C．s＝(－1,1,1)，n＝(1,2，－1) D．s＝(－1,1,1)，n＝(－2,2,2)

6．设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m⊥α，n∥α，则m⊥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中正确命题的序号是

　 A．①② B． ②③ C． ③④ D． ①④

7．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为



8．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为

A.
B.
C.
D.

9．若{a，b，c}为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是

A．a，a＋b，a－b B．b，a＋b，a－b C．a＋b，a－b，a＋2b D．c，a＋b，a－b

10．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是

A．
B．
C．
D．

题目

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

























二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填空在答卷上）

11．设
，
，且
，则
.

12．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图）∠ABC=45°，AB=AD=1，DC⊥BC，则这个平面图形的面积为　 　；

13．已知PA垂直矩形平面ABCD,AB=3,AD=4,PA=
,则P到BD的距离为______

14．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为
，底面三角形的边长为2，则异面直线BC1与A1C所成的角是　　.；

15．
是两个不同的平面，
是平面
及
之外的两条不同的直线，给出四个论断：①
∥
；②
∥
；③
⊥
；④
⊥
．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题　　　　　 　 ．（用序号及
表示）。

三、解答题（本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.（本小题满分8分）．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于600，
是PC的中点，设
．

（1）试用
表示出向量
；

（2）求
的长．

17．（本小题满分10分）. 如图直角梯形
中，
，
，
平面
，
,分别以
为
轴、
轴、

轴建立直角坐标系
．

（1）求
与
夹角的余弦值；

（2）求
与平面
夹角的正弦值；

18．（本小题满分10分）．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=
AA1，D是棱AA1的中点．

（1） 证明：平面BDC1⊥平面BDC；

（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

19．（本小题满分10分）

如图，在三棱锥
中，
，
，
，
．

（1）求证：
；

（2）求二面角
的大小的余弦；

．

20．（本小题满分12分）如图，如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2.

(1) 若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

(2))线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．

2013—2014学年度第二学期南昌市高二年级期中考试

理科数学（乙卷）参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

题目

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

D

B

A

C

B

A

D

D

C





二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填写在横线上）

11.
12.
13. 4 14.
15. ①③④
② 或 ①②④
③

三、解答题（本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.解：（1）∵
是PC的中点，∴

……………………………………………………………4分

（2）

……………………………………………………………………6分

.………………………………………………………………8分

17．解：（1）如图所示：
.

∴
， ∴
．

与
夹角的余弦值
． ………………………………………………………………4分

（2）设平面
的法向量
，

∵
，

∴
.

∴
，即
， ∴
. ………………………………7分

又∵
，∴

∴求
与平面
夹角的正弦值为
；………………………………………………10分

18．解：（1）由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，

∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1?平面ACC1A1，

∴DC1⊥BC．……………………………………………3分

由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，

∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，

∴DC1⊥平面BDC，又DC1?平面BDC1，

∴平面BDC1⊥平面BDC；………………………………5分

（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=
×
×1×1=
，

又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，

∴（V﹣V1）：V1=1：1，

∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．……………………………………………10分

19.解： （1）
，
，
．

又
，
．
，

平面
．
平面
，

．………………………………………………5分

（2）如图，以
为原点建立空间直角坐标系
．

则
．设
．

，
，
．………………7分

取
中点
，连结
．

，
，

，
．

是二面角
的平面角………………………………………………9分．

，
，
，

………………………………………………10分

20.解： (1)　如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C-xyz，

则A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(2,2,0)．

设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0.

又＝(3,0，－2)，＝(－1,2,0)，

所以
令y＝1，则x＝2，z＝.

所以n＝(2,1，)．………………………………………3分

设CM与平面A1BE所成的角为θ.

因为＝(0,1，)，

所以sin θ＝|cos〈n，〉|＝||＝＝.

所以CM与平面A1BE所成角的大小为.………………………………………………………6分

(2)线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直，理由如下：

假设这样的点P存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p∈[0,3]．……………………………………7分

设平面A1DP的法向量为m＝(x，y，z)，则m·＝0，m·＝0.

又＝(0,2，－2)，＝(p，－2,0)，

所以
令x＝2，则y＝p，z＝.

所以
…………………………………………………………………………………10分

平面A1DP⊥平面A1BE，当且仅当m·n＝0，

即4＋p＋p＝0.

解得p＝－2，与p∈[0,3]矛盾．

所以线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直．…………………………………12分