2013—2014学年度第二学期南昌市高二年级期中考试

理科数学（甲卷）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在答卷的相应表格内）

1．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是

A．1 B. C. D.

2．以下说法正确是

A．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直． B．平行于同一条直线的两条直线互相平行；

C．垂直于同一条直线的两个平面互相垂直； D．平行于同一条直线的两个平面互相平行

3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为
，则这个圆锥的全面积是

　 A． 8π B．
C． 12π D． 9π

4．设
均为直线,其中
在平面
的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

5．若直线l∥平面α，直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，则下列结论正确的是

A．s＝(－1,0,2)，n＝(1,0，－1) B．s＝(－1,0,1)，n＝(1,2，－1)

C．s＝(－1,1,1)，n＝(1,2，－1) D．s＝(－1,1,1)，n＝(－2,2,2)

6．设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m⊥α，n∥α，则m⊥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中正确命题的序号是

　 A．①② B．②③ C．③④ D． ①④

7．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为



8．在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是

　 A．
a B．
a C．
a D．

9．若{a，b，c}为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是

A．a，a＋b，a－b B．b，a＋b，a－b C．c，a＋b，a－b D．a＋b，a－b，a＋2b

10．过球面上三点A、B、C的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB=6，BC=8，AC=10，则球的表面积是

　 A．100π B． 300π C．
π D．
π

题目

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

























二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填空在答卷上）

11．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量
，则两平面间的距离是 ；

12．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图）∠ABC=45°，AB=AD=1，DC⊥BC，则这个平面图形的面积

为　 　；

13．菱形
中，已知

垂直于
所在平面且
，则
到
的距离为 ；

14．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为
，底面三角形的边长为2，则异面直线BC1与A1C所成的角是　　.；

15．
是两个不同的平面，
是平面
及
之外的两条不同的直线，给出四个论断：①
∥
；②
∥
；③
⊥
；④
⊥
．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题　　　　　 　 ．（用序号及
表示）。

三、解答题（本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.（本小题满分8分）．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于600，
是PC的中点，设
．

（1）试用
表示出向量
；

（2）求
的长．

17．（本小题满分10分）.

如图直角梯形
中，
，
，
平面
，
,分别以
为
轴、
轴、
轴建立直角坐标系
．

（1）求
与
夹角的余弦值；

（2）求
与平面
夹角的正弦值；

18．（本小题满分10分）．

如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=
AA1，D是棱AA1的中点．

（1） 证明：平面BDC1⊥平面BDC；

（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

19．（本小题满分10分）

如图，在三棱锥
中，
，
，
，
．

（1）求证：
；

（2）求二面角
的大小的余弦；

20．（本小题满分12分）如图，放置在水平面上的组合体由直三棱柱ABC－A1B1C1与正三棱锥B－ACD组成，其中，AB⊥BC.它的正视图、俯视图、侧视图的面积分别为2＋1,2＋1,1.

(1)求直线CA1与平面ACD所成角的正弦值；

(2)在线段AC1上是否存在点P，使B1P⊥平面ACD？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．

2013—2014学年度第二学期南昌市高二年级期中考试

理科数学（甲卷）参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

题目

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

B

C

A

C

B

A

D

C

D





二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填写在横线上）

11.  12. 2+
13. 10cm 14.
15. ①③④
② 或 ①②④
③

三、解答题（本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.解：（1）∵
是PC的中点，∴

………………………………………………………………4分

（2）

.………………………………………………………………8分

17．解：（1）如图所示：
.

∴
， ∴
．

与
夹角的余弦值
． ………………………………………………………………4分

（2）设平面
的法向量
，∵
，

∴
.∴
，即
， ∴
. …………7分

又∵
，∴

∴求
与平面
夹角的正弦值为
；…………………10分

18．解：（1）由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，

∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1?平面ACC1A1，

∴DC1⊥BC．……………………………………………3分

由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，

∴DC1⊥平面BDC，又DC1?平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC；……………………5分

（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=
×
×1×1=
，

又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，∴（V﹣V1）：V1=1：1，

∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．……………………………………………10分

19.解： （1）
，
，
．

又
，
．
，

平面
．
平面
，

．………………………………………………5分

（2）如图，以
为原点建立空间直角坐标系
．

则
．设
．

，
，
．………………7分

取
中点
，连结
．
，
，

，
．

是二面角
的平面角………………………………………………9分．

，
，
，

………………………………………………10分

20.解：由已知可得AB⊥平面BB1C1C，由于三棱锥B－ACD是正三棱锥，所以CD?平面BB1C1C，D，B，B1三点共线，AB＝BC＝BD.

设AB＝a，BB1＝b.则其正视图和俯视图的面积都是ab＋a2，侧视图的面积是a2，

根据已知解得a＝，b＝2. ……………………………………3分

以点B为坐标原点，射线BC，BB1，BA分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0，)，C(，0,0)，D(0，－，0)，B1(0,2,0)，C1(，2,0)，A1(0,2，)．

由于三棱锥B－ACD是正三棱锥，该三棱锥的重心G，则BG⊥平面ACD，

故可取向量n＝(1，－1,1)为平面ACD的一个法向量，＝(－，2，)，

故可取v＝(1，－，－1)为直线CA1的一个方向向量．

设直线CA1与平面ACD所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，v〉|＝＝＝.………6分

(2)设＝m＝(m,2m，－m)，则＝＋＝(m,2m－2，－m)，

如果B1P⊥平面ACD，则∥n，即(m,2m－2，－m)＝(λ，－λ，λ)，…………7分

由此得方程组

由①③得m＝，λ＝，代入②则－1＝－，矛盾，…………11分

这说明不存在满足题目要求的点P.………………………………………………………………12分