2014年上期高一质检试题

数 学

一、选择题。（50分）

1．某学校为调查高三年级的240名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取24名同学进行调查；第二种由教务处对高三年级的学生进行编号，从001到240，抽取学号最后一位为3的同学进行调查，则这两种抽样方法依次为 (　　)

A．分层抽样，简单随机抽样 B．简单随机抽样，分层抽样

C．分层抽样，系统抽样 D．简单随机抽样，系统抽样

2．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为 (　　)

A．50 B．60

C．70 D．80

3.同时抛两枚硬币，则一枚朝上一枚朝下的事件发生的概率是（ ）

A.1／2 B. 1／3 C.1／4 D.2／3

4．cos4－sin4的值等于(　　)．

A．0 B.

C．1 D.

5．连续抛掷2颗骰子，则出现朝上的点数之和等于6的概率为(　　)．

A. B. C. D.

6．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：

则样本数据落在区间［10,40）的频率为（ ）

（A）0.35 （B）0.45 （C）0.55 （D）0.65

7.sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°的值是 (　　)

A. B.

C．－ D．－

8.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是（ ）

9.已知0<α<<β<π，又sin α＝，cos(α＋β)＝－，则sin β＝(　　)．

A．0 B.0或

C. D.0或－

10．定义运算＝ad－bc.若cosα＝，

＝，0<β<α<，则β等于(　　)

A. B.

C. D.

二．填空题。（20分）

11.某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）.根据频率分布直方图推测这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是_________

12．Sin14ocos16o+sin76ocos74o的值是_________.

13．某种饮料每箱装5听，其中有3听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是_________．

14．已知函数　f(x)＝cosxsinx(x∈R)，给出下列四个命题：

①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；②　f(x)的最小正周期是2π；③　f(x)在区间[－，]上是增函数；④　f(x)的图象关于直线x＝对称，其中为真命题的是(　　)

三．解答题。（80分）

15．（12分）对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：

通过计算，回答：甲、乙谁的平均成绩较好？谁的各门功课发展较平衡？

16（12分）．已知　f(x)＝sinx＋cosx(x∈R)．

(1)求函数　f(x)的最小正周期；

(2)求函数　f(x)的最大值，并指出此时x的值．

17（14分）.某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．

(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；

(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，

①列出所有可能的抽取结果；

②求抽取的2所学校均为小学的概率．

18（14分）.已知：sin α＝，cos(α＋β)＝－，0<α<，π<α＋β<π，求cos β的值．

19（14分）.从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动．

(1)求所选2人中恰有一名男生的概率；

(2)求所选2人中至少有一名女生的概率．

20（14分）.已知函数
,
.

(Ⅰ) 求
的值; (Ⅱ) 若
,
,求
.

2014年上期高一质检试题

数学参考答案

一．选择题。1-5DCADA 6-10BCACD

二．填空题。11.600 12.0.5 13 0.7

14. ③④　

三．解答题。15.解析甲=
（60+80+70+90+70）=74,

（80+60+70+80+75）=73，

（142+62+42+162+42）=104,

（72+132+32+72+22）=56,

∵甲>乙，

∴甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡.

16解析：(1)∵　f(x)＝sinx＋cosx＝2(sinx＋cosx)

＝2(sinxcos＋cosxsin)

＝2sin(x＋)．∴T＝2π.

(2)当sin(x＋)＝1时，　f(x)取得最大值，其值为2.

此时x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝2kπ＋(k∈Z)．

17.(1)解：从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.

(2)①解：在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．

②解：从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种．

所以P(B)＝＝.

18.解　因为sin α＝，0<α<，所以cos α＝＝ ＝.因为cos(α＋β)＝－，π<α＋β<π，

所以sin(α＋β)＝－＝－＝－.所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝－1.

19.解析 设2名女生为a1，a2,3名男生为b1，b2，b3，从中选出2人的基本事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)， (a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共10种．

设“所选2人中恰有一名男生”的事件为A，则A包含的事件有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，共6种，

∴P(A)＝＝，

故所选2人中恰有一名男生的概率为.

(2)设“所选2人中至少有一名女生”的事件为B，则B包含的事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，共7种，

∴P(B)＝，

故所选2人中至少有一名女生的概率为.

20.【答案】(Ⅰ)
;

(Ⅱ)

因为
,
,所以
,

所以
,

所以


.