2013～2014学年度春学期期中考试

高一数学试卷

卷面总分：160分 考试时间：120分钟

一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分）

1．已知直线经过点A(0,4)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为 ．

2. 在空间直角坐标系中，点
关于
平面对称点的坐标为_________.

3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成角大小为____________.

4．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________．

5. 在正方体
中，直线AD1与平面BB1D1D所成角的余弦值是 ．

6．经过两点
且圆心在轴上的圆的方程是____________.

7. 已知正四棱锥的底面边长是6，高为
，这个正四棱锥的侧面积是____________.

8. 已知直线
与
平行，则实数k为_________.

9. 已知正方形ABCD的边长为2，E、F分别为边BC、DC的中点，沿AE、EF、AF折成一个四面体，使B、C、D三点重合，则这个四面体的体积为___________.

10．下列四个结论：

①如果一条直线和另一条直线平行，那么它就和经过另一条直线的任何平面平行；

②如果一条直线和一个平面平行，那么它就和这个平面内的任何直线平行；

③平行于同一平面的两条直线平行；

④垂直于同一个平面的两条直线平行.

其中正确结论的序号是______________.

11．用一张长12cm，宽8cm的矩形铁皮围成圆柱体的侧面，则这个圆柱体的体积为 ．

12. 已知圆
，当圆的面积最小时，直线
在圆上截得的弦长最短，则直线的方程为___________.

13．如图，直三棱柱
中，
，
，
，

，
为线段
上的一动点，则当
最小时，

△
的周长为______．

14．在平面直角坐标系中满足到点A(3,0)距离为2，且到点B(0,4)距离

为3 的直线条数是___________.

二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15．（本题满分14分）已知直线
和直线
相交于点P
。

⑴用m表示直线
与
的交点P的坐标；

⑵当m为何值时，点P到直线
的距离最短？并求出最短距离.

16．（本题满分14分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．

（1）求证：EF∥平面CB1D1；

（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．

17．（本题满分14分）已知：以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．

（1）求证：△OAB的面积为定值；

（2）设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．

18.（本题满分16分）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3a , BC＝2a，

D是BC的中点，F是C1C上一点，且CF＝2a.

（1）求证：B1F⊥平面ADF；

（2）求C点到平面AFD的距离;

（3）试在棱AA1上找一点E，使得BE∥平面ADF．

19.（本题满分16分）已知圆C的圆心C在x轴的正半轴，半径为5，圆C被直线
截得的弦长为
.

⑴求圆C的方程；

⑵设直线
.

①若圆C关于直线l对称，求a的值；

②若直线l与圆C相交于A、B两点，求实数a的取值范围.

20.（本题满分16分） 已知圆

．

（1）直线
：
与圆
相交于、两点，求
；

（2）如图，设
、
是圆
上的两个动点，点
关于原点的对称点为
，点
关于轴的对称点为
，如果直线
、
与轴分别交于
和
，问
是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由;

（3）过O点任作一直线与直线x=4交于E点，过(2,0)点作直线与OE垂直，并且交直线x=4于F点，以EF为直径的圆是否过定点，如过定点求出其坐标，如不过，请说明理由．

2013～2014学年度春学期期中考试

高一数学试卷参考答案

一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分）

1．-2 2. （2，3，7） 3. 60。

4． x－2y－1＝0 5.
6．

7. 48 8. 3或5 9.

10．④ 11.
12.

13.
14. 3

二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 解　

16. （1）证明:连结BD.

在长方体
中，对角线
.

又E、F为棱AD、AB的中点，

.

. ……………………………………………………………………3′

又B1D1平面
，
平面
，

EF∥平面CB1D1.………………………………………………………………7′

（2）在长方体
中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1，

AA1⊥B1D1. ……………………………………………………………………9′

又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，

B1D1⊥平面CAA1C1. ………………………………………………………12′

又B1D1平面CB1D1，

平面CAA1C1⊥平面CB1D1．…………………………………………………14′

17. 解　(1)∵圆C过原点O，∴OC2＝t2＋.

设圆C的方程是(x－t)2＋2＝t2＋……………………………………………2′

令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t

∴S△OAB＝OA×OB＝××|2t|＝4，即△OAB的面积为定值．…………………4′

(2)∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分线段MN.

∵kMN＝－2，kOC＝∴直线OC的方程是y＝x. ……………………………………6′

∴＝t，解得：t＝2或t＝－2…………………………………………………………8′

当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝，

此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝
＜，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．……………………………………………………………………………………………10′

当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝，

此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝＞，圆C与直线y＝－2x＋4不相交，

∴t＝－2不符合题意舍去．……………………………………………………………12′

∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. ………………………………………………14′

18.　证明：(1)∵AB＝AC, D为BC中点 ∴AD⊥BC

又在直三棱柱中, BB1 ⊥底面ABC,

AD底面ABC，

∴AD⊥BB1，∴AD⊥平面BCC1B1，……………………………………2′

∵B1F平面BCC1B1

∴AD⊥B1F, 在矩形BCC1B1中, C1F＝CD＝a，CF＝C1B1＝2a,

∴Rt△DCFRt≌△FC1B1 , …………………………………………………5′

∴∠CFD＝∠C1B1F, ∴∠B1FD＝90°，即B1F⊥FD

∵AD∩FD＝D， ∴B1F⊥平面AFD……………………………………………………6′

（2）当AE＝2a时，BE∥平面ADF．…………………………………………………8′

证明：连EF,EC，设EC∩AF＝M，

连DM，∵AE＝CF＝2a,

∴ AEFC为矩形，

∴M为EC中点，∵D为BC中点，………………………………………………9′

∴MD∥BE，∵MD平面ADF，

BE平面ADF, ∴BE∥平面ADF. ………………………………………………11′

（3）

所以

所以

………………………………………………………………………13′

所以
………………………………………………………………15′

………………………………………………………………………16′

19.

……………………………………………………5分

（2）①由题意直线l过圆心（1，0）

，即
.…………………………………………………………………10分

②

……………………………16分

20. （1）圆心
到直线
的距离
．

圆的半径
，
．…………………………………………4′

（2）
，
，则
，
，
，
．…………………………………………………………………………………6′

：
，得
．

：
，得
．……………8′

………………………………10′

（3）解：设直线OE的方程为

设与OE垂直的直线为l

令

……………………………………………………………………12′

设
为圆上一点，以EF为直径

………………………………………14′

由对称性可知，定点必在x轴上

所以 y0=0

即

所以过定点
…………………………………………………………16′