2013～2014学年度
下学期 期中联考

高一数学试题

命题学校：荆州中学 命题
人：王俊 陈侃 冯钢 审题人：刘勇 梁中强

本试卷共4页，共21题。满分150分。考试用时120分钟。

★ 祝考试顺利 ★

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。[来源:学.科.网]

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集U=R，A=
，B=
，

则图中阴影部分表示的区间是（ ）

A.[0,1] B.[-1,2]

C.
D.

2.三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a,b,c,已知下列条件：

①b=3,c=4,
; ②a=5,b=8,
;

③c=6,b=
,
; ④c=9,b=12,

其中满足上述条件的三角形有两解的是： （ ）

A.①② B.①④ C.①②③ D.③④

3.三角形ABC中A，B，C的对边分别为
,
,则A的取值范围为 ( )

A.
B.

C.（
） D.

4.若
是等差数列
的前n项和，且
,则
( )

A.12 B.18 C.22 D.44

5. 三角形ABC中，若
,则三角形ABC的形状是（ ）

A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形

6．三角形ABC中A，
B，C的对边分别为
,且
成等差数列，则B等于（ ）

A.30° B.60° C.90° D.120°

7.已知等比数列
中
，则
等于（ ）

A.
B.

C.

D.

8．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为
，沿倾斜角为
的斜坡向上
走
米到B，在B处测得山顶P的仰角为
，求山高h=（
）

A.
B.

[来源:学。科。网]

C.
D.

9.设
，则
的值是（ ）

A.
B.0 C.59 D.

10.设
,记不超过x的最大整数为[x]
，令{x}=x-
,则{
}， [
],
（ ）

A．是等差数列但不是等比数列

B．是等比数列但不是等差数列

C．既是等差数列又是等比数列

D．既不是等差数列又不是等比数列

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分

11.三角形ABC面积为
，BC=2，C=
，则边AB长度等于______.

12.已知
，
，且
，则
的最大值等于_____.

13.一个牧羊人赶着一群羊通过6个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还1只给牧羊人，过完这些关口后，牧羊人只剩下2只羊，则原来牧羊人到底赶着________只羊.

14.已知函数
有3个零点分别为
，则
的取值范围是__________.

15.等差数列
前n项和为
，已知
，

，则

=_______.

三、解答题:本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．(本小题满分12分)

已知
，
，函数
．

（1）求
的最小正周期；
（2）当
时，求函数
的值域．

17. (本小题满分12分)

在△
ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足
,
.

（1）求角C的大小;

（2）求△ABC面积的最大值.

18．(本小题满分12分)

等差数列
中，

；

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
求数列
的前n项和
．

19．(本小题满分12分)

如图，甲船以每小时
海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于
处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的
处，此时两船相距
海里，当甲船航行40分钟到达
处时，乙船航行到甲船的南偏西45°方向的
处，此时两船相距
海里，问乙船每小时航行多少海里？

20．(本小题满分13分)

已知函数
满足
，定义数列
，
，
，数列
的前
项和为
，
，且
．

（1） 求数列
、
的通项公式；

（2）令
，求
的前
项和
；

（3）数列
中是否存在三项
使
成等差数列，若存在，求出
的值，若不存在，请说明理由。

21. (本小题满分14分)

已知函数
且此函数在其定义域上有且只有一个零点.

（1）求实数
的取值集合.

（2）当
时，设数列
的前
项的和为
，且
，求
的通项公式.[来源:学+科+网Z+X+X+K]

（3）在（2）的条件下，若数列
是有固定
项的有穷数列，现从中抽去某一项（不包括首项、末项）后，余下的项的平均
值为31，求这个数列的项数，并指出抽去的是第几项.

[来源:Z,xx,k.Com]

[来源:Z,xx,k.Com]

2013～2014学年度下学期荆州中学、龙泉中学、宜昌一中、襄阳四中期中联考

高一数学试题答案

命题学校：荆州中学 命题人：王俊 陈侃 冯钢 审题人

选择题

1-5：CACCA 6-10：BCAAB

填空题

11、2 12、14 13、2 14、
15、4028

三、解答题

16.解析：（1）∵
…………1分

……………3分

． …………………5分

∴函数f(x)的最小正周期为π． ……………6分

（2）∵
，∴
， ……………………………8分

∴
， ……………………………11分

即f(x)的值域为
． ……………………12分

17．解：（1）∵

由正弦定理得：

∴
………………………………2分

∴

∵
∴
………………………………………………… 4分

∴
…………………………………………………………………… 6分

（2）由正弦定理得

得，

又
，
，…………………………… 8分

△ABC面积
，

化简得：
………………………………………………… 10分

当
时，
有最大值，
。 ………………………………………… 12分

（另解：用基本不等式）

18.解：（1）设等差数列
的公差为
，

则由
得，
，解得
……………
……………………………… 2分

…………………………………………………………………………………… 4分

（2）
……………………… 6分

…………………………………………………… 11分

…………………………………………………………… 12分

19.解：由已知得

，

在△
中，由余弦定理得：

，
，……………………… 4分

又
得
，
，…………… 6分

又在△
中，由余弦定理得：
，

…………………………………………………………………………… 10分

则乙船的速度
（海里）

答：乙船每小时航行
海里。 …………………………………………………… 12分

20.解：（1）由题意知：
，
又

是以1为首项，2为公比的等比数列，故
，……………………………… 2分

由
，
可得：

是等差数列，

当
时，
满足上式，

…………………………………………………………………………… 4分

（2）
，…………………
……………………………………………………… 5分

……①

两边同乘公比
得，

……②

①
②得
……………………… 7分

化简得：
……………………………………………………………… 9分

（3）假设存在
使
成等差数列，

则
，
，……………………………………………10分

两边同除
，得
，

为偶数，而
为奇数，……………………………………………… 12分

因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．

∴假设不成立，故不存在任三项能构成等差数列．……………………………13分

21.解：(1) 函数的定义域是

因为函数在其定义域上有且只有一个零点，

故当
时，函数只有一个零点
， ………………………………………1分

当
时，由
只有一个解，可以分为两种情况：

（1）一元二次方程
有两相等且不等于
的解，即由

得
，此时零点为
………………………………………
………………2分

（2）一元二次方程
有一解是
，此时
……………4分

综上所得：实数
的取值集合为
. ………………………………………………5分

(2) 因为
，所以
，

即
，所以
……………………………………7分

当
时，
，
满足

故
的通项公式为
. ……………………………………………………9分

(3) 设抽去的是第
项，依题意
，

由
可得
………………1
1分

由于
解得
，因为
，故
………13分

由于
，故

所以此数列共有15项，抽去的是第8项. ………………………………………………14分