北京市东城区（南片）2013-2014学年下学期高一年级期末考试数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知点A（1，2），B（3，1），则直线AB的斜率为

A. －2 B.
C.
D. 2

2. 如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为
。则该几何体的俯视图可以是

3. 如果等差数列
中，
，那么
＝

A. 14 B. 21 C. 28 D. 35

4. 经过点（－1，0），且与直线
垂直的直线方程是

A.
B.

C.
D.

5.
，下列不等式中一定成立的是

A. 若
，则
B. 若
，则

C. 若
，则
D. 若
，则

6. 设
是两个不同的平面，
是一条直线，以下命题正确的是

A. 若
，则
B. 若
∥
∥
，则

C. 若
∥
，则
D. 若
∥
，则

7. 已知数列
满足
，则
等于

A.
B.
C.
D.

8. 在平面直角坐标系
中，直线
与圆
相交于A，B两点，则弦AB的长等于

A.
B.
C.
D. 1

9. 已知变量
满足约束条件
，则
的最小值为

A. －6 B. －5 C. 1 D. 3

10. 已知点E，F分别是正方体
的棱AB，
的中点，点M，N分别是线段
与
上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有

A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11. 两条平行直线
和
间的距离是_____________。

12. 不等式
的解集为_____________。

13. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于_____________。

14. 在空间直角坐标系中，已知点
，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是_____________。

15. 已知正四棱柱
中，
，则CD与平面
所成角的正切值等于_____________。

16. 设不等式组
表示的区域为
，不等式
表示的平面区域为
。记
为
与
公共部分的面积，则函数
的取值范围是_____________。

三、解答题：本题共5小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本题满分9分）

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为
，且
。

（Ⅰ）求c边长；

（Ⅱ）求
的值。

18. （本题满分9分）

如图，正方体
的棱线长为1，线段
上有两个动点E，F，且
。

（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；

（Ⅱ）求证：AC⊥BE；

（Ⅲ）三棱锥
的体积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由（棱锥的体积
）。

19. （本题满分9分）

如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小?

20. （本题满分10分）

如图，在平面直角坐标系
中，点A（0，3），直线
，设圆C的半径为1，圆心在直线
上。

（Ⅰ）若圆心C也在直线
上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

（Ⅱ）若圆C上存在唯一一点M，使
，求圆C的方程。

21. （本题满分9分）

如果有穷数列
（m为正整数）满足条件
，即
，我们称其为“对称数列”。例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”。

（Ⅰ）设
是7项的“对称数列”，其中
是等差数列，且
。依次写出
的每一项；

（Ⅱ）设
是49项的“对称数列”，其中
是首项为1，公比为2的等比数列。求
各项的和S；

（Ⅲ）设
是100项的“对称数列”，其中
是首项为2，公差为3的等差数列。求
前n项的和
。

【试题答案】

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

1. B 2. C 3. C 4. A 5. D 6. D 7. A 8. B 9. B 10. B

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11. 2 12.
13. 6 14.
15.

16.

三、解答题：本大题共5个小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本题满分9分）

解：（Ⅰ）由已知及余弦定理
，得
，

解得
或
。 5分

（Ⅱ）在△ABC中，
，

由正弦定理得
。 9分

18. （本题满分9分）

（Ⅰ）证明：在正方体
中，

因为
∥BD，所以EF∥BD，

因为
平面ABCD，
平面ABCD，

所以EF∥平面ABCD。 3分

（Ⅱ）证明：在正方体
中，

因为
⊥平面ABCD，所以
，

又因为ABCD为正方形，所以BD⊥AC，

，所以AC⊥平面
。

而
平面
。所以AC⊥BE。 6分

（Ⅲ）三棱锥
的体积是定值。

设
交于点O，由（Ⅱ）可知，AO⊥平面BEF，且
。

。 9分

19. （本题满分9分）

解：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则
。 ①

广告的高为
，宽为
，其中
。

广告的面积

当且仅当
时等号成立，此时
，代入①式得
，从而
。

即当
时，S取得最小值24500。

故广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小。 9分

20. （本题满分10分）

解：（Ⅰ）由
得圆心C为（3，2），

因为圆C的半径为1，

所以圆C的方程为：
。

显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为
，即
。

由
，得
。

解得
或者
。

所以所求圆C的切线方程为：
或
。 5分

（Ⅱ）因为圆C的圆心在直线
上，所以，设圆心C为
，

则圆C的方程为：
。

又因为
，所以设M为
，则
。

整理得：
设为圆D。

所以点M应该既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有唯一交点。

所以
或
。

由
，得
。

由
得
，或
。

所以圆心坐标为（0，－4）或

综上所述，圆C的方程为：
或
。 10分

21. （本题满分9分）

解：（Ⅰ）设数列
的公差为d，则
，解得
，

∴数列
为
； 3分

（Ⅱ）

。 6分

（Ⅲ）
，

由题意得
是首项为149，公差为－3的等差数列，

当
时，

，

当
时，

，

综上所述，
9分