第I卷 选择题

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1.
( )

A.
????? B.
??? C.
??? D.

2.
（ ）

A.
??????? B.
?????? C.
????? D.
?

3.设
，
，
，则（?? ）

A.?b

4.在
中，已知
，
，则
为（ ）

A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.锐角非等边三角形 D.钝角三角形

5.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A.48 B.
C.
D.80

6.若某程序图如图所示，则该程序 运行后输出的k的值是（ ）

?A.4 B.5 C.6 D.7

??

7.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为
，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）

（第7题图）

A6? B 8? C12 D 18

8.已知函数
，其中为实数，若
对
恒成立，且
，则
的单调递增区间是( )

A.
B.

C.
D.

9. 已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（　 ）

A.
B.
C.
D.

10. 已知ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，则角A为（? ）

A．
? ? B．
??? C．
?? D．

第Ⅱ卷 非选择题

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置。

11、在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于 _____________．

12.已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6，且|a|=1,|b|=2，则a与b的夹角为______________.

13.若函数
的图像关于原点对称，则
__________________.

14函数
的图像向右平移
个单位后，与函数
的

图像重合，则=____________.

15．已知函数
与
的定义域为，有下列5个命题：

①若
，则
的图象自身关于直线轴对称；

②
与
的图象关于直线
对称；

③函数
与
的图象关于轴对称；

④
为奇函数，且
图象关于直线
对称，则
周期为2；

⑤
为偶函数，
为奇函数，且
，则
周期为2。

其中正确命题的序号是______________________.

三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡的指定区域内。

16.（本题满分12分)

已知函数f(x)＝4cos ωx·
(ω＞0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值；

(2)讨论f(x)在区间
上的单调性．

17.（本题满分12分)

如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝
，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.

(1)若PB＝
，求PA；

(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.

（第17题图）

18.（本题满分12分)

下图是淮北市6月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择6月1日至6月15日中的某一天到达该市，并停留2天．

（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；

（2）若设是此人停留期间空气质量优良的天数，请分别求当x=0时，x=1时和x=3时的概率值。

（3）由图判断从哪天开始淮北市连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

19.（本题满分13分)

如图所示，在四棱锥
中，
平面
，
，
，是
的中点，是
上的点且
，
为△
中
边上的高.

（1）证明：
平面
；

（2）若
，
，
，求三棱锥
的体积；

（3）证明：
平面
.

20.（本题满分13分)

已知函数f(x)＝mx2－mx－1. (第19题图）

(1)若对于x∈R，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；

(2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求实数m的取值范围．

21.（本题满分13分)

如图，已知圆心坐标为
的圆
与轴及直线

均相切，切点分别为、，另一圆
与圆
、轴及直线

均相切，切点分别为
、。

求圆
和圆
的方程；

（2）过点作
的平行线
，求直线
被圆
截得的弦的长度； x

（第21题图）

参考答案（水平有限，仅供参考）

15.① ② ③ ④

三，简答题

16.解：(1)f(x)＝4cos ωx·sin

＝
sin ωx·cos ωx＋
cos2ωx

＝
(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋

.............................3分

因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，

从而有
，故ω＝1. .................................6分

(2)由(1)知，f(x)＝
.

若0≤x≤
，则
.

当
，即
时，f(x)单调递增；

当
，即
时，f(x)单调递减． .............................10分

综上可知，f(x)在区间
上单调递增，在区间
上单调递减． ................12分

17解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.

在△PBA中，由余弦定理得PA2＝
.

故PA＝
. ...........................5分

(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.

在△PBA中，由正弦定理得
，

化简得
cos α＝4sin α.

所以tan α＝
，即tan∠PBA＝
. .............................12分

18、解：设
表示事件“此人于6月日到达该市”（ =1,2，…，13）.

根据题意,
,且
.

（1）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则
,

所以
. ...........3分

(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，

P(X=0)=1－P(X=1)－P(X=2)=
,

P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)= P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=
,

P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)= P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=
, ............9分

（3）从6月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大. ............12分

19、【解析】（1）证明：因为
平面
，

所以
。

因为
为△
中
边上的高，

所以
。

因为
，

所以
平面
。 ................................4分

（2）连结
，取
中点
，连结
。

因为是
的中点，

所以
。

因为
平面
，

所以
平面
。

则
，

。 .........................8分

（3）证明：取
中点
，连结
，
。

因为是
的中点， 所以
。

因为
， 所以
，

所以四边形
是平行四边形，

所以
。

因为
， 所以
。

因为
平面
，

所以
。

因为
， 所以
平面
，

所以
平面
。 .......................13分

20、解析(1)由题意可得m＝0或
?m＝0或－4＜m＜0

?－4＜m≤0.

故m的取值范围为(－4,0]． .....................6分

(2)∵f(x)＜－m＋5?m(x2－x＋1)＜6，

∵x2－x＋1＞0，∴m＜
对于x∈[1,3]恒成立，

记g(x)＝
，x∈[1,3]，

记h(x)＝x2－x＋1，h(x)在x∈[1,3]上为增函数． 则g(x)在[1,3]上为减函数，

∴[g(x)]min＝g(3)＝
， ∴m＜
. 所以m的取值范围为
. ..............13分

21.解（1）由于圆
与
的两边相切，故
到
及
的距离均为圆
的半径，则
在

的角平分线上，同理，