一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“若
，则
”的逆否命题是 （ ）

A.若
，则
B.若
，则

C.若
或
，则
D.若
或
，则

2.已知数列
为等差数列，若
，
，则
( )

A．36 B．42 C．45 D．63

3.给定命题:若
,则
； 命题:若
，则
.则下列各命题中,假命题的是（ ）

A．
B．
C．
D．

4.等比数列
共有奇数项，所有奇数项和
，所有偶数项和
，末项是
，

则首项

A. B. C.
D.

5.若实数、满足不等式组
，则
的最大值为（ ）

A. B.
C.
D.

6. “
”是“函数
为奇函数” 的（ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

7.若双曲线
的离心率为
，则其渐近线的斜率为（ ）

A.
B.
C.
D.

8.在
中，
，则
等于（　　）

A.
B.
C.
D.

9．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为(　　)

A．6　　　　B．5 C．4 D．3

10．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　)

A. B. C. D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中的横线上。

11.已知数列
中，
，且
，则
的值为 .

12.与双曲线
过一、三象限的渐近线平行且距离为
的直线方程为 .

13.如果实数
满足
,若直线
将可行域分成面积相等的两部分，则实数
的值为______.

14.若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是　　　　.?

15.当a>0,a≠1时,函数f(x)=loga(x-1)+1的图象恒过定点A,若点A在直线mx-y+n=0上,则4m+2n的最小值是　　　　　.?

二、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）

设p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根．求使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围．

17.（本小题满分12分）

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c ，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sin Asin B＝cos2，BC边上的中线AM的长为.

(1)求角A和角B的大小；

(2)求△ABC的面积．

18.（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n，数列{bn}满足b1＝－1，bn＋1＝bn＋ (2n－1)(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)求数列{bn}的通项公式bn；

(3)若cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.

19．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点．

(1)如果直线l过抛物线的焦点，求
·
的值；

(2)如果
·
＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

20.(本小题满分13分）

某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为
层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元),为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用

21.（本小题满分14分）

已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知直线l：y＝kx＋与椭圆C交于A，B两点，是否存在k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

高13级下学期学情调研考试(理)

数学试题答案

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中的横线上。

11.1 12.

13. -3 14.解析:∵xy≤
(x+y)2,∴1=x2+y2+xy=(x+y)2-xy≥(x+y)2-
(x+y)2

=
(x+y)2,∴(x+y)2≤
,∴-
≤x+y≤
,当x=y=
时,x+y取得最大值
.答案:

15:由题意知点A(2,1),故2m+n=1∴4m+2n≥2=2=2.当且仅当4m=2n,即2m=n,

即n=,m=时取等号.

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.【解析】　由得m＜－1，∴p：m＜－1；

由Δ2＝4(m－2)2－4(－3m＋10)＜0知－2＜m＜3，∴q：－2＜m＜3.

由p∨q为真，p∧q为假可知，命题p，q一真一假．

当p真q假时，此时m≤－2；

当p假q真时，此时－1≤m＜3.

∴m的取值范围是(－∞，－2]∪[－1,3)．

17. 解：(1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc，得a2－b2－c2＝－bc，

∴cos A＝＝，又0

由sin Asin B＝cos2，得sin B＝，即sin B＝1＋cos C，

则cos C<0，即C为钝角，∴B为锐角，且B＋C＝，

则sin＝1＋cos C，化简得cos＝－1，

解得C＝，∴B＝.

(2)由(1)知，a＝b，由余弦定理得AM2＝b2＋2－2b··cos C＝b2＋＋＝()2，解得b＝2，

故S△ABC＝absin C＝×2×2×＝.

18. ．解：(1)∵Sn＝3n，∴Sn－1＝3n－1(n≥2)，

∴an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1(n≥2)．

当n＝1时，2×31－1＝2≠S1＝a1＝3，

∴an＝

(2)∵bn＋1＝bn＋(2n－1)，

∴b2－b1＝1，b3－b2＝3，b4－b3＝5，…，bn－bn－1＝2n－3.

以上各式相加得

bn－b1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)＝＝(n－1)2.

∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n.

(3)由题意得cn＝

当n≥2时，Tn＝－3＋2×0×31＋2×1×32＋2×2×33＋…＋2(n－2)×3n－1，

∴3Tn＝－9＋2×0×32＋2×1×33＋2×2×34＋…＋2(n－2)×3n，

∴相减得－2Tn＝6＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－2(n－2)×3n.

∴Tn＝(n－2)×3n－(3＋32＋33＋…＋3n－1)

＝(n－2)×3n－＝.

∴Tn＝∴Tn＝(n∈N*)．

19.解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，

设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，

∴
·
＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2

＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.

(2)证明：设l：x＝ty＋b代入抛物线y2＝4x，消去x得

y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，

∴
·
＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2

＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2.

∴直线l过定点(2,0)．∴若
·
＝－4，则直线l必过一定点(2,0)．

20.【解】 设将楼房建为x层,则每平方米的平均购地费用为
.

∴每平方米的平均综合费用
.

当
取最小值时,y有最小值. ∵x>0,∴

当且仅当
即x=15时,上式等号成立. ∴当x=15时,y有最小值 2 000元.

因此该楼房建为15层时,每平方米的平均综合费用最小.

21. 解：(1)设椭圆的焦半距为c，则由题设得解得

故所求C的方程为＋x2＝1.

(2)存在k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.理由如下：

设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

将直线l的方程y＝kx＋代入＋x2＝1并整理得(k2＋4)x2＋2kx－1＝0.　(*)

则x1＋x2＝－，x1x2＝－.因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，

所以
·
＝0，即x1x2＋y1y2＝0.又y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋3，

即y1y2＝－－＋3＝，于是有－＋＝0，

解得k＝±.经检验知：此时(*)的判别式Δ＞0，适合题意．

即(*)的判别式Δ＞0恒成立．

所以当k＝±时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.