湛江一中2014-2015学年度第一学期期末考试高二级理科数学试卷

满分150分 考试时间120分钟.命题：陈智浩

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 请将正确选项的代号

填在题后的答题卡内。

1. 若
是虚数单位，且
，则
的值为（ ）

A. －2 B. －4 C. 2 D. 4

2. 设命题p：a＞b＞0的必要条件是
；命题q：y=sinx不是周期函数，则下列命题中为真命题的是（ ）

　A. p∧q B. ﹁p∧﹁q C.﹁p∨q D. p∨﹁q

3.已知向量=(1,1,0),
=(-1,0,2),且k
与2
互相垂直，则k的值是

A．1 B．-1 C．
D．

4．设
，则
是
的（ ）

A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5.在数列
中，
=1，
，则
的值为 （ ）

A．99 B．49 C．102 D． 101

6．已知椭圆方程
表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是( )

A．
B．
C．
或
D．
或

7.设
满足约束条件
,则
的最大值为 （ ）

A．5?????? B. 3??????? C.7??D.-8

8.椭圆
的内接矩形的最大面积的取值范围是
，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　　）

　　
　　　
　　　

二、填空题：（5分*7=35分）

9.命题“对任意的
”的否定是

13.设
的最大值为

14. a，b，c,m,n,表示直线，α, β表示平面，给出下列四个命题：

①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；

③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β⑤.若m⊥α，n∥α，则m⊥n；

其中正确命题的有

三、解答题：（6个大题，共75分）

15.（12分）已知函数
，

（1）若
使
，求实数
的取值范围；

（2）设
，命题：
在区间
上单调递减，命题：方程
有两不等的实根，若命题
为真，求实数的取值范围。

16. (12分)已知△AB的三个顶点在抛物线
上运动，

(1)求的准线方程；

(2)若点A在坐标原点，B，C是抛物线上的动点,且满足
， 点M是线段BC的中点，求点M的轨迹方程.

17．（14分）如图，在长方体
中，

点E在棱AB上移动.

（I）证明：
； （II）若E为AB中点，求E到面
的距离；

（III）AE等于何值时，二面角
的大小为

18.（14分）随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员
人（140<
<420，且为偶数），每人每年可创利
万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利
万元，但公司需付下岗职员每人每年
万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的
，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？

19．（14分）已知数列
各项不为0，
，
，

（1）求
的通项
。

（2）若
，求数列
的前n项和
。

（3）用数学归纳法证明：

20.（14分）设
,在平面直角坐标系中,已知向量
,向量
,
,动点
的轨迹为E.

（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

（2）已知
,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且
(O为坐标原点),并求出该圆的方程;

（3）已知
,设直线
与圆C:
(1

湛江一中2014-2015学年度第一学期期末考试

高二级理科数学参考答案

满分150分 考试时间120分钟.命题：陈智浩

一 选择题：ADBAD DCB

二 填空题：9.
10.(-2/3,1) 11.4 12.

13. 1/50 14. ②⑤

三 解答题：

17．方法一（I）证明：由三垂线定理
（4分）

(或证
平面AED也行)

（II）设点E到平面
的距离为h，由题设可得

算得

则
（9分）

（III）过D作
，垂足为H，连
则

为二面角
的平面角.

设
，在直角
中，

在直角
中，
在直角
中，

在直角
中，
，在直角
中，

因为以上各步步步可逆，所以当
时，二面角
的大小为
（14分）

方法二：以DA，DC，DD1建立空间坐标系，设
，有

（I）证明：因为
，所以，
（4分）

（II）解：E是AB中点，有

，设平面
的法向量为
则
也即
，

得
，从而
，点E到平面
的距离
（9分）

（III）设平面
的法向量为

由
令
，得

则
于是

（不合，舍去），

即
时，二面角
的大小为
（14分）

18．解： 设裁员人，可获得的经济效益为万元,则

=
（6分）

依题意
≥
∴0<≤
.（8分）

又140<
<420, 70<<210.

(1)当0<
≤
,即70<≤140时，
,取到最大值;

(2)当
>
,即140<<210时，
,取到最大值;

综上所述，当70<≤140时，应裁员
人；当140<<210时，应裁员
人.（14分）

19.解：（1）数列
各项不为0，
，
， 得
（3分）

（2）
，
（1）

（2）

（1）-（2）得：

（8分）

（3）　①当n＝2时，左＝>0＝右，∴不等式成立． （9分）

②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立．即＋＋…＋>成立．

那么n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋…＋

>＋＋…＋>＋＋＋…＋＝＋＝，

∴当n＝k＋1时，不等式成立．据①②可知，不等式对一切n∈N*且n≥2时成立． （14分）

20、解:（1）因为
,
,
,

所以
, 即
.(1分)

当m=0时,方程表示两直线,方程为
;当
时, 方程表示的是圆

当
且
时,方程表示的是椭圆; 当
时,方程表示的是双曲线. （5分）

(2).当
时, 轨迹E的方程为
,设圆心在原点的圆的一条切线为
,解方程组
得
,即
,

要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,

则使△=
,

即
,即
, 且

,

要使
, 需使
,即
,

所以
, 即
且
, 即
恒成立.

所以又因为直线
为圆心在原点的圆的一条切线,

所以圆的半径为
,
, 所求的圆为
.

当切线的斜率不存在时,切线为
,与
交于点
或
也满足
.

综上, 存在圆心在原点的圆
，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且
. （10分）

(3)当
时,轨迹E的方程为
,设直线
的方程为
,因为直线
与圆C:
(1

因为
与轨迹E只有一个公共点B1,

由（2）知
得
,即
有唯一解

则△=
, 即
, ②

由①②得
, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点,

由
中
,所以,
,

B1(x1,y1)点在椭圆上,所以
,所以
,

在直角三角形OA1B1中,
因为
当且仅当
时取等号,所以
,即

当
时|A1B1|取得最大值,最大值为1. （14分）