时间：120分钟，满分150分

一．选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分。每小题只有一个正确的答案，请将正确答案的序号填入答题卡中）

1.设集合U＝M∪N={1,2,3,4,5}，M∩?UN＝{2,4}，则集合N= (　　)．

A．{1,2,3} B．{1,3,5} C．{1,4,5} D．{2,3,4}

2. 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是(　　)．

A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱

3. 设a＝
，b＝
，c＝ln π，则(　　)．

A．a

4. 直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是(　　)．

A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0 C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0

5. 在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若
，则λ＝(　　)．

A．1 B．2 C．3 D．4

6. 在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝(　　)．

A．58 B．88 C．143 D．176

7. 如图给出的是计算＋＋＋…＋的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是(　　)．

A．i>10? B．i<10? C．i>20? D．i<20?

8. 设a，b是两个平面向量，则“a＝b”是“|a|＝|b|”的(　　)

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

9. 已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是 (　　)．

A．(1,10) B．(5,6) C．(10,12) D．(20,24)

10. 定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝；④f(x)＝ln |x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为(　　)．

A．①② B．③④ C．①③ D．②④

二．填空题：（每小题5分，共25分）

11. 某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校。

12. 已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g (－1)＝_____

13. 在区间上随机取一个数，
的值介于0至之间的概率为________．

14. 直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________

15. 已知函数
(其中e为自然对数的底数，且e≈2.718)．

若f(6－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是________

三．解答题：（本大题共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

16.（本题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．

一次购物量

1至4件

5至8件

9至12件

13至16件

17件及以上



顾客数/人

x

30

25

y

10



结算时间/(分钟/人)

1

1.5

2

2.5

3



已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)

17.（本题满分12分） 已知函数f(x)＝sin＋sin＋2cos2x－1，x∈R.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．

18. （本题满分12分） 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．

(1)证明：EF∥平面PAD；

(2)求三棱锥E－ABC的体积．

19. （本题满分13分）近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积x(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5。为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝(x≥0，k为常数)．记F(x)为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共消耗的电费之和．

(1)试解释C(0)的实际意义，并建立F(x)关于x的函数关系式；

(2)当x为多少平方米时，F(x)取得最小值？最小值是多少万元？

20.（本题满分13分） 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1(－1,0)，长轴长与短轴长的比是2∶.

(1)求椭圆的方程；

(2)过F1作两直线m，n交椭圆于A，B，C，D四点，若m⊥n，求证：＋为定值．

21.（本题满分13分） 已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，

曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．

(1)求k的值；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)设g(x)＝(x2＋x)
，其中f′(x)为f(x)的导函数，

证明：对任意x>0，g(x)<1＋e-2.

文科数学参考答案

因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.

17. 解　(1)f(x)＝sin 2x·cos＋cos 2x·sin＋sin 2x·cos－cos 2x·sin＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin. 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．又f＝－1，f＝，f＝1，故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1.

18.(1)证明　在△PBC中，E， F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD.

又∵AD?平面PAD，EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD.

(2)解　连接AE， AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，由PA⊥平面ABCD，则EG⊥平面ABCD，且EG＝PA.

在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，

∴AP＝AB＝，EG＝.

∴S△ABC＝AB·BC＝××2＝.

∴VE－ABC＝S△ABC·EG＝××＝.

19. 解　(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的电费，即未安装太阳能供电设备时企业每年消耗的电费为C(0)＝＝24，得k＝2 400，所以F(x)＝15×＋0.5x＝＋0.5x(x≥0)．

(2)因为F(x)＝＋0.5(x＋5)－2.5≥2 －2.5＝57.5，

当且仅当＝0.5 (x＋5)，即x＝55时取等号，所以当x为55平方米时，F(x)取得最小值，最小值为57.5万元．

20.(1)解　由已知得解得a＝2，b＝.故所求椭圆方程为＋＝1.

(2)证明　由已知F1(－1,0)，当直线m不垂直于坐标轴时，可设直线m的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)．由得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.

由于Δ>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝－，x1x2＝，

|AB|＝＝ ＝.

同理|CD|＝. 所以＋＝＋＝＝.

当直线m垂直于坐标轴时，此时|AB|＝3，|CD|＝4；或|AB|＝4，|CD|＝3，

＋＝＋＝.综上，＋为定值.

21.(1)解　由f(x)＝得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)．

由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.………(3分)

(2)解　由(1)得f′(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)．令h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，

当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.又ex>0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)>0；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．……(7分)

(3)证明　因为g(x)＝(x2＋x)
，所以g(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)．

因此，对任意x>0，g(x)<1＋e－2等价于1－x－xln x<(1＋e－2)．由(2)知h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e－2)，x∈(0，＋∞)．因此，当x∈(0，e－2)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减．

所以h(x)的最大值为h(e－2)＝1＋e－2.故1－x－xln x≤1＋e－2.……(10分)

设φ(x)＝ex－(x＋1)．因为φ′(x)＝ex－1＝ex－e0，所以当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(0)＝0，故当x∈(0，＋∞)时，φ(x)＝ex－(x＋1)>0，即>1.所以1－x－xln x≤1＋e－2<(1＋e－2)．因此对任意x>0，g(x)<1＋e－2.………………(13分)