北京市东城区2014－2015学年上学期高二年级期末考试数学试卷（文科）

（考试时间120分钟 满分100分）

一、选择题（每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1. 下列给出的赋值语句①4＝M；②
；③M＝N＝3；④M＋N＝0中，正确的是

A. ① B. ② C. ③ D. ④

2. 已知向量
＝（2，0），那么｜
｜等于

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3. 命题“对任意x∈R，｜x｜≥0”的否定是

A. 对任意
，都有
B. 不存在
，使得

C. 存在
，使得
D. 存在
，使得

4. 下边的程序框图表示的算法的功能是

A. 计算小于100的奇数的连乘积

B. 计算从1开始的连续奇数的连乘积

C. 从1开始的连续奇数的连乘积，当乘积大于100时，计算奇数的个数

D. 计算1×3×5×…×n≥100时的最小的n的值。

5. 在长度为8的线段AB上任取一点C，那么线段AC的长度不超过2的概率是

A.
B.
C.
D.

6. 若向量a、b满足
，且a与b的夹角为60°，则
等于

A.
B.
C.
D.

7. 某单位共有老年、中年、青年职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为

A. 72 B. 36 C. 18 D. 27

8. 以双曲线
的顶点为顶点，离心率为
的椭圆方程是

A.
B.

C.
或
D.
或

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

9. 曲线
在点（1，2）处的切线斜率等于___________。

10. 在平面直角坐标系
中，向量
，若a⊥b，则x等于_______。

11. 若双曲线
右焦点是抛物线
的焦点，则双曲线的方程为_______。

12. 甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：℃）用茎叶图记录如下图，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是___________，气温波动较大的城市是__________。

13. 在平面直角坐标系中，从五个点：A（0，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（0，2）、E（2，2）中任取三个，则这三点能构成三角形的概率是__________。

14. 如下判断：（1）x>3是x>1的充分不必要条件；

（2）函数
在
处的导数存在，若
，则
为函数
的一个极值点；

（3）命题p：直线
过椭圆
的右焦点，命题q：若
则
，
为真命题；

（4）椭圆
离心率为
，则双曲线
的离心率为
。

所有正确判断的序号是____________。

三、解答题：本大题共5小题，其中第15、16、17题各8分，第18题、第19题各10分，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. （本小题满分8分）

用三种不同颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种，求：

（Ⅰ）3个矩形颜色都相同的概率；

（Ⅱ）3个矩形颜色都不同的概率。

16.（本小题满分8分）

将一颗骰子分别投掷两次，观察出现的点数。

（Ⅰ）求出现点数之和为7的概率；

（Ⅱ）若记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，若向量
，
求向量p与q共线的概率。

17.（本小题满分8分）

已知两定点
，动点P满足
。

（Ⅰ）求动定P的轨迹方程；

（Ⅱ）设点P的轨迹为曲线C，求抛物线
的准线与曲线C的交点坐标。

18. （本小题满分10分）

从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理数据得到频数分布表和频率分布直方图。

组号

分组

频数

频率



1



6

0.06



2



8

0.08



3





0.17



4



22

0.22



5









6



12

0.12



7



6

0.06



8



2

0.02



9



2

0.02



合计

100







（Ⅰ）求出频率分布表及频率分布直方图中的x，y，z，a，b的值；

（Ⅱ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；

（Ⅲ）若从一周课外阅读时间超过12小时（含12小时）以上的同学中随机选取2名同学，求所抽取同学来自同一组的概率。

19. （本小题满分10分）

函数
。

（Ⅰ）当
时，求函数
的极值；

（Ⅱ）若曲线
与直线
只有一个交点，求实数k的取值范围。

【试题答案】

一、选择题（每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1. B 2. B 3. D 4. D 5. D 6. A 7. C 8. C

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

9. 3 10. 2 11.
12. 乙；乙 13.
14. （1）（4）

三、解答题：本大题共5小题，其中第15，16题各8分，第17，18题各8分，第19题10分，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. （本小题满分8分）

解：按涂色顺序记录结果为（x，y，z），由于是随机涂色，所以x，y，z各有3种不同的涂法，故所有基本事件共有27种。 4分

（Ⅰ）三个矩形颜色都相同的基本事件有3个，所以三个矩形都涂同一种颜色的概率为
。 6分

（Ⅱ）三个矩形颜色都不同的基本事件有
，
共6个，所以三个矩形颜色都不同的概率为
。 8分

16. （本小题满分8分）

解：（Ⅰ）设“出现点数和为7”为事件A。

将一颗骰子掷两次，出现的点数有：（1，1），（1，2）………（6，6）共包括36个基本事件。 3分

A事件包含的基本事件有：（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）共6个基本事件。因此，
。 5分

（Ⅱ）设“向量p与q共线”为事件B。

将一颗骰子掷两次，出现的点数有：（1，1），（1，2）……（1，6）

（2，1），（2，2）……（2，6）

（3，1），（3，2）……（3，6）

……

（6，1），（6，2）……（6，6）

共包括36个基本事件。

由向量p与q共线，可得到n＝3m，则事件B含的基本事件有（1，3），（2，6），共2个。

因此
8分

17. （本小题满分8分）

解：（Ⅰ）设点
，由题意：
得，
，

整理得到点P的轨迹方程为
。 4分

（Ⅱ）抛物线
的准线为
，

解方程组
得交点为
8分

18. （本小题满分10分）

解：（Ⅰ）由频率分布表及频率分布直方图可得
，
2分

（Ⅱ）由频率分布表知：周课外阅读时间少于12小时的频数为
，

∴周课外阅读时间少于12小时的频率为
＝0.9；由此估计从该校随机选取一名学生，这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9。 4分

（Ⅲ）设“所抽取同学来自同一组”为事件A。

由频率分布表可知，一周课外阅时间超过12小时（含12小时）以上的同学共有10人，分别设这10位同学为A1，A2，…A10。从这10个同学中任选取2名同学，包含下列基本事件：

，

，

…………

。 8分

共
种。若所选2人分在同一组则共有17种情况，即事件A包含的基本事件有17个。因此，
。 10分

19. （本小题满分10分）

解：（Ⅰ）因为
，

当
时，
，令
，所以
。

随x的变化情况如下表：



－2



2







＋

0

－

0

＋





↗

极大值

↘

极小值

↗



所以
的单调递增区间是
单调递减区间是
。

当
时，取得极大值，极大值为
。

当
时，取得极小值，极小值为
。 4分

（Ⅱ）令
，所以
只有一个零点。

因为
，

当
时，
，所以
只有一个零点0。

当
时，
对
成立，

所以
单调递增，所以
只有一个零点。

当
时，令
，解得
或
。

所以
随x的变化情况如下表：















＋

0

－

0

＋





↗

极大值

↘

极小值

↗




有且仅有一个零点等价于
，即
，解得
。

综上所述，k的取值范围是
。 10分