1.
是正数，则
三个数的大小顺序是( )

A.
　　 B.
　　

C.
　　 D.

已知命题
，则
是( )

A.
B.

C.
D.

3.已知
，且
，
，则下列各式恒成立的是( )

A.
B.
C.
D.

4.如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点.若
,
则下列向量中与
相等的向量是( )

A.
B.

C.
D.

点在正方形
所在平面外,
，

则
与
所成角的大小为( )

A.
B.
C.
D.

6.已知
满足以下约束条件
，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是( )

　A.
,1 B.13,1　 C.
,
D.13,

7.若
, 则
=( )

A.-1 B.0 C.1 D.2

8.在下列结论中，正确的是( )

①
为真是
为真的充分不必要条件

②
为假是
为真的充分不必要条件

③
为真是
为假的必要不充分条件

④
为真是
为假的必要不充分条件

A.①② B.①③ C.②④ D.③④

9.下列求导数运算错误的是( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.
B.

C.
D.

10.定义方程
的实数根
叫做函数
的“新驻点”，若函数
，
,
的“新驻点”分别为
，则
的大小关系为( )

A.
B.
C.
D.

填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)

11.已知向量
，
，
且
，则
___________.

12.已知
且
，则使不等式
恒成立的实数的取值范围__________________.

13.半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(r2)’＝2r ；对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于上述的式子:_______________________.

14.已知函数
的导数为
，且满足
，则
________.

15.下列命题：

①若
与
共线，则存在唯一的实数
，使
=

；

②若向量
所在的直线为异面直线，则向量
一定不共面；

③向量
、
、
共面，则它们所在直线也共面；

④若
三点不共线，
是平面ABC外一点．若
,则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部，

其中正确的命题有____________(写出所有正确命题的序号).

解答题(本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.已知命题

,命题

,若
是
的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

18.某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层1000m2的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用增加20元。已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为400元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成几层？

19.如图，已知四棱锥
，底面
为菱形，
平面
，
，
分别是
的中点．

(1)证明：
；

(2)若
为
上的动点，
与平面
所成最大角的正弦值为
，求二面角
的余弦值.

绵阳南山中学高2016届2015年4月月考

数学试题（理科）答案

选择题：1--5.CDBAC 6--10.DABCC

填空题：11.3 12.
13.
14.6 15.④

解答题：

方法二：

----------------------------------------------------(4分)

------------------------------(6分)

-----------------------------------(9分)

实数的取值范围是
.--------------------------------------------(10分)

17.解(1)∵y′=x2,则在点P（2，4）处的切线的斜率k=y′|x=2=4----------------(2分)

∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0 -----------------(4分)

(2)设曲线y=
x3+
与过点P（2，4）的切线相切于点A(x0，
x03+
)，则切线的斜率

k=y′|
=x02

∴切线方程为y-(
x03+
)=x02(x-x0),即y=x02·x-
x03+
--------------------(6分)

∵点P（2，4）在切线上，∴4=2x02-
x03+
,

即x03-3x02+4=0，整理可得x03+x02-4x02+4=0, 解得x0=-1或x0=2-----------------(8分)

故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. --------------------------------(10分)

18.解设该楼建成层，则整幢楼每平方米的建筑费用为400+20(x-5)（元）----(2分)

又每平方米购地费用为
（元）------------------------------(4分)

每平方米的平均综合费用
≥
------------------------------------------(7分)

当且仅当
，x2=50，x≈7时，y最小----------------------------------(9分)

∴ 大楼应建成7层综合费用最低.-----------------------------------------(10分)

19.(1)证明：由四边形
为菱形，
，可得
为正三角形．

因为为
的中点，所以

又
，因此

因为
平面
，
平面
，所以

而
平面
，
平面
且

所以
平面
．又
平面

所以
.------------------------------(3分)

(2)解：设
，
为
上任意一点，连接
．

由(1)知
平面

所以
为
与平面
所成的角

在
中，
，

所以当
最短时，
最大，即当
时，
最大．

因为
，此时

因此
．又
，所以
，所以
．----------------(5分)

解法一：因为
平面
，
平面

所以平面
平面

过作
于
，则
平面

过
作
于
，连接
，则
为二面角
的平面角-------(7分)

在
中，
，

又是
的中点，在
中，

又

在
中，
-------------------------------(9分)

即所求二面角的余弦值为
．-------------------------------------------(10分)

解法二：由(1)知
两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又
分别为
的中点，所以

所以

设平面
的一法向量为

则
因此

取
，则
-----------------------------------------------(7分)

因为
，
，
，所以
平面

故
为平面
的一法向量,又

所以
．---------------------------(9分)

因为二面角
为锐角，所以所求二面角的余弦值为
．-------------(10分)

解法三：建立如图所示的空间直角坐标系，设菱形
的边长为2，则
，设

由
三点共线可设
，则
-------------(4分)

，又平面
的一个法向量

设
与平面
所成角为
，则
-(5分)

令

---------------------------(6分)

------------(7分)

易得平面
的一个法向量
；平面
的一个法向量
-(8分)

------------------------------------------(9分)

又二面角
是锐二面角

.------------------------------------(10分)