广元市实验中学高2013级2015年春半期考试数学（理）试题

满分150分 时间120分

一、选择题：每小题5分，共50分。

1. 已知点
，则点关于轴对称的点的坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

2.在△
中，“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．一个物体的运动方程为
其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在
秒末的瞬时速度是（ ）

A．5米/秒 B．6米/秒 C．7米/秒 D．
米/秒

4.有下列四个命题：

①“若
, 则
互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若
,则
有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；

其中真命题为（ ）

A．①② B．②③ C．①③ D．③④

5.曲线
在
处的切线平行于直线
，则
点的坐标为（ ）

A．
B．

C．
和
D．
和

6．若抛物线
上一点到其焦点的距离为
，则点的坐标为（ ）。

A．
B．
C．
D．

7.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为
，焦距为
，则椭圆的方程为（ ）

A．
B．
或

C．
D．
或

8．以椭圆
的顶点为顶点，离心率为的双曲线方程（ ）

A．
B．
或

C．
D．以上都不对

9.空间四边形
中，
，
，

则
<
>的值是（ ）

A．
B．
C．
D．－

10．对于上可导的任意函数
，若满足
，则必有（ ）

A．
B.

C.
D.

二、填空题：每小题5分，共25分.

11．命题“实数
，使得
”的否定是 .

12. 已知
分别是与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量，

若

则+
_______.

13. 已知
的图象经过点
，且在
处的切线方程是
，则
的解析式为 .

14.
是椭圆
的两个焦点，为椭圆上一点，且∠
，则Δ
的面积为 .

15. 设函数
，若
为奇函数，则=____.

三、解答题：共75分.写出必要的文字说明及解答过程.

16.(12分)已知命题
方程
有两个不等的正实数根；命题
方程
无实数根。若“或”为真命题，求的取值范围.

17. (12分）设函数
．

（1）求函数
的单调区间.

（2）若方程
有且仅有三个实根，求实数的取值范围.

18. (12分）在圆
上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程，指出轨迹是什么？并求出该轨迹的焦点和离心率.

19．（12分）已知函数
在
与
时都取得极值

(1)求
的值；

(2)若对
，不等式
恒成立，求的取值范围.

20．(13分) 已知双曲线
的两个焦点为
、
点
在双曲线C上.

(1)求双曲线C的方程；

(2)记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为
求直线l的方程.

21.（14分）如图在长方体
中，
，点在棱
上移动.

（1）证明：
；

（2）当为
的中点时，求点到面
的距离；

（3）
等于何值时，二面角
的大小为
.

广元市实验中学

高2013级2015年春半期考试数学（理）参考答案

BDACC BDDAA 11. x,y∈R,都有x+y≤1

12.
13.
14.
15.

16．解：“或”为真命题，则为真命题，或为真命题

当为真命题时，则
，得
；

当为真命题时，则

17. （1）增区间（-∞,1）和（2，+∞），减区间为（1，2）

（2）
得,

18.
,椭圆，焦点为
，离心率为
.

19解：（1）

由
，
得

（2）
，函数
的单调区间如下表：





























(

极大值

(

极小值

(




，当
时，

为极大值，而
，则
为最大值，要使

恒成立，则只需要
，得
。

20. 解：(Ⅰ)由已知
及点
在双曲线
上得

解得

所以，双曲线
的方程为
.

(Ⅱ)由题意直线
的斜率存在，故设直线
的方程为

由
得

设直线
与双曲线
交于
、
，则
、
是上方程的两不等实根，

且
即
且
①

这时
，

又

即

所以

即

又


适合①式

所以，直线
的方程为
与
.

21. 解：以为坐标原点，直线
分别为
轴，建立空间直角坐标系，设
，则

（1）

（2）因为为
的中点，则
，从而
，

，设平面
的法向量为
，则

也即
，得
，从而
，所以点到平面
的距离为

（3）设平面
的法向量
，∴

由
令
，

∴

依题意

∴
（不合，舍去），
.

∴
时，二面角
的大小为
.