2013 学年第一学期温州八校高三期初联考

理科数学试卷

命题：金良晨 瓯海中学

审题：杨君芳 苍南中学

说明： 本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页.满分150分，考试时间120分钟.

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. [来源:学_科_网]

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷
上.

参考公式：

如果事件
互斥，那么 棱柱的体积公式

如果事件
相互独立，那么 其中
表示棱柱的底面积，
表示棱柱的高

棱锥的体积公式

如果事件
在一次试验中发生的概率是
，那么

次独立重复试验中事件
恰好发生
次的概率 其中
表示棱锥的底面积，
表示棱锥的高

棱台的体积公式

球的表面积公式

其中
分别表示棱台的上、下底面积，

球的体积公式
表示棱台的高

其中
表示球的半径

选择题部分（共50分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分
.在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求.

1.设复数
满足
，则
（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

2.已知集合
，
，则
（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

4.将函数
的图像向左平移
个长度单位后，所得到的

图像关于
轴对称，则
的最小值是（ ▲ ）

A.
B.
C.
D.

5.已知q是等比数列
的公比，则“
”是“数列
是递减数列”的（ ▲ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6.某程序框图如图所示，则该程序运行后的输出结果是（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

7.已知
为异面直线，
平面
，
平面
.直线
满足
，则（ ▲ ）

A．
，且
B．
，且

C．
与
相交，且交线垂直于
D．
与
相交，且交线平行于

8.已知
，
满足约束条件
，若
的最小值为
，则
（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

9.设
是双曲线
的两个焦点，P是C上一点，若

，且

的最小内角为
，则C的离心率为（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

10.已知函数
若存在
，使得关于
的方程
有三个不相等的实数根，则实数
的取值范围是（ ▲ ）

A.
B.
C.
D.

非选择题部分（共100分）

注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上.

2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.

二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.

11.某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 ▲ .

12.已知
是等差数列，
，公差
，
为其前
项和，若
成等比数列，则
▲ .

13.设常数
，若
的二项展开式中

项的系数为
，则
▲ .

14.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券要连号，那么不同的分法种数是 ▲ .

15.设当
时，函数
取得最大值，则
▲ .

16.已知直线
交抛物线
于
两点.若该抛物线上存在点
，使得
为直角，则
的取值范围为 ▲ .

17.在平面直角坐标系中，
是坐标原点，若两定点
满足
，则点集
所表示的区域的面积是 ▲ .

三．解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18．（本题满分14分）在△
中，内角
的对边分别为
,

已知
.

(Ⅰ)求
；

(Ⅱ)若
，求△
面积的最大值.

[来源:Z,xx,k.Com]

19．（本题满分14分）一个袋子里装有7个球, 其中有红球4个, 编号分别为1，2，3，4；

白球3个, 编号分别为2，3，4. 从袋子中任取4个球 (假设取到任何一个球的可能

性相同).

(Ⅰ) 求取出的4个球中, 含有编号为3的球的概率；

(Ⅱ) 在取出的4个球中, 红球编号的最大值设为X ，求随机变量X的分布列和数学期望.[来源:学科网]

20．（本题满分14分）如图，三棱锥
中，
底面
，
，

，
为
的中点，点
在
上
，且
.

(Ⅰ)求证：平面
平面
；

(Ⅱ)求平面
与平面
所成的二面角的平面角

（锐角）的余弦值.

21．（本题满分15分）如图，椭圆
经过点
离心率
，

直线
的方程为
.

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ)
是经过右焦点
的任一弦(不经过点
)，设直线
与直线
相交于点
，记
的斜率分别为
问:是否存在常数
，使得
若存在求
的值；若不存在，
说明理由.

22．（本题满分15分）设函数
的定义域为（0，
）.

(Ⅰ)求函数
在
上的最小值；

(Ⅱ)设函数
，如
果
，且
，证明：
.

2013 学年第一学期温州八校高三期初联考

理科数学试卷参考答案

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



A

C

D

B

D

A

D

B

C

B



二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.

11.
12.64 13.
14.96 15.
16.
17.

三．解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.解：(Ⅰ)由已知及正弦定理得
……2分

又
，故
……4分

得
，又
，所以
. ……7分

(Ⅱ) ⊿
的面积

由已知及余弦定理得
……10分

又
.故
，当且仅当
时，等号成立.

因此⊿
的面积的最大值为
. ……14分

[来源:Zxxk.Com]

19.解: (Ⅰ) 设“取出的4个球中，含有编号为3的球”为事件A，则

所以，取出的4个球中，含有编号为3的球的概率为
. ……5分

(Ⅱ)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4. ……6分

，
，

，
， ……10分

所以随机变量X的分布列是

X

1

2

3

4



P











随机变量X的数学期望
. ……14分

20.解：(Ⅰ)∵
底面
，且
底面
， ∴

………1分

由
，可得
………2分

又∵
，∴
平面
[来源:学科网]

注意到
平面
， ∴
………3分

∵
,
为
中点，∴
………4分

∵
，
平面
………5分

而
平面
，∴
………6分

(Ⅱ)如图，以
为原点、
所在直线为
轴、
为
轴建立空间直角坐标系.

则
…8分

………10分

设平面
的法向量
.

则

解得
………12分

取平面
的法向量为
则
，

故平面
与平面
所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值为
. ……14分

21.解：(Ⅰ)由
在椭圆上得,
①

依题设知
,则
②

②代入①解得
.

故椭圆
的方程为
. ……5分

(Ⅱ)由题意可设
的斜率为
, 则直线
的方程为
③

代入椭圆方程
并整理,

得
, ……7分

设
,则有
④

在方程③中令
得,
的坐标为
.

从而
.

注意到
共线,则有
,即有
.

所以

⑤
……11分

④代入⑤得
,

又
,所以
.故存在常数
符合题意. ……15分

22.解:(Ⅰ)
，则
时，
；
时，
。

所以，函数
在（0，1
）上是减函数，在（1，+
）上是增函数.……2分

当
时，函数
在[m，m+1]上是增函数,

此时
；

当
时，函数
在[m， 1]上是减函数,在[1，m+1]上是增函数，

此时
； ………6分

(Ⅱ)证明：考察函数
，

所以g(x)在(
)内是增函数，在(
)内是减函数.（结论1）

考察函数F(x)=g(x)-g(2-x)，即

于是

当x>1时，2x-2>0,从而


(x)>0,

从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。

又F(1)=
F(x)>F(1)=0,即g(x)>g(2-
x). （结论2）

………………………10分

若
，由结论1及
，得
，与
矛盾；

若
，由结论1及
，得
，与
矛盾；

………………………12分

若
不妨设

由结论2可知，g(
)>g(2-
)，所以