试题

一、填空题（每小题5分，共60分）

1．已知全集
，集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．设
，向量
且
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．设函数
,若
,则实数
的取值范围是（　　）

A．
B．
C．
D．

4．函数
的图象大致是 （ ）

由直线
与曲线
所围成的封闭图形的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6：则△ABC是（ ）

A．锐角三角
形 B．钝角三角形 C．直角三角形

D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

7．已知函数
，
的图像与直线
的两个相邻交点的距离等于
，则
的单调递增区间是（ ）

A．
B．

C．
D．

8．设
,函数
的图像向右平移
个单位后与原图像重合，则
的最小值是 （ ）

A．
B．
C．
D． 3

9．设
的定义域为R,
，对任意
，
，则
的解集为（　　）

A．

B．
C．
D．

10．已知定义在
上的函数
,对任意
,都有
成立,若函数
的图象关于直线
对称,则
（　　）

A．
B．
C．
D．

11．已知P是
内一点，且满足
0，记
、
、
的面积依次为

、
、
，则
：
：
等于（ ）

A、1：2：3 B、1：4：9 C、
：
：1 D、3：1：2

12．已知
且函数
恰有3个不同的零点，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=_____.

已知函数
是定义在
上的奇函数,在
上
，则
在
上的解析式为

若函数
在
是增函数,则
的取值范围是

16．
是定义在
上的偶函数且在
上递增,不等式
的解集为_____________

三、解答题

17．（本小题10分）已知向量
，
，
，且A为锐角。

(1)求角A的大小；

(2)求函数
的值域。

18．（本小题12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且
.

（1）求角B的大小；[来源:学。科。网Z。X。X。K][来源:Z。xx。k.Com]

（2）若b＝
，a＋c＝4，求a的值.

19．（本小题12分）已知函数
．

（1）函数
在点
处的切线与直线

平行，求
的值；

（2）当
时，
恒成立，求
的取值范围．

20．（本小题12分）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA-
sinA)cosB=0.

(1) 求角B的大小;

(2）若a+c=1,求b的取值范围

21. （本小题12分）已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根．

(1)求cos3＋sin3的值；

(2)求tan(π－θ)－的值

2
2.（本小题12分）设函数f(x)=x2+aln(x+1)

(1)若函数y=f(x)在区间[1,+∞）上是单调递增函数，求实数a的取值范围；

(2)若函数y=f(x)有两个极值点x1,x2且x1

数学（理科）答案

一、1D 2B 3C 4A 5D 6B 7C 8C 9B 10A 11D 12C

13.
=
14.
15.
16．

17．解(Ⅰ)由题意得

由A为锐角得
,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知
,所以
[来源:学科网]

因为
,所以
,因此,当
时,
有最大值
,

当
时,
有最小值-3,所以所求函数
的值域是

18．解：本小题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和的三角函数等基础知识和利用三角公式

进行恒等变形的技能，考查运算能力和逻辑思维能力

（1）解法一：由正弦定理
＝
＝
＝2R，

得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，

代入
中， 得
，

即
，

，

∵ A＋B＋C＝
， ∴ sin(B＋C)＝A

∴

∵ sinA≠0， ∴ cosB＝－
，

又角B为三角形的内角，故B＝
.

解法二：由余弦定理cosB＝
，cosC＝
，

代入
中， 得
·
＝
，

整理，得
，

∴ cosB
＝
＝
＝－
，

又角B为三角形的内角，故B＝
. [来源:Zxxk.Com]

（2）将b＝
，a＋c＝4，B＝
， 代入余弦定理
，

得
，

整理得
， 解得 a＝1或a＝3.

19．解(1)由已知得

即有

因为
,所以
,又
,所以
,

又
,所以
.

(2)由余弦定理,有
.

因为
,有
.

又
,于是有
,即有
.

20．已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根．

(1)求cos3＋sin3的值；

(2)求tan(π－θ)－的值．

解：由已知原方程的判别式Δ≥0，

即(－a)2－4a≥0，∴a≥4或a≤0.

又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，则a2－2a－1＝0，从而a＝1－或a＝1＋(舍去)，

因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－.

(1)cos3＋sin3＝sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos
θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)＝(1－)[1－(1－)]＝－2.

(2)tan(π－θ)－＝－tan θ－

＝－＝－

＝－＝1＋.

21.解： （Ⅰ）
…………………………
…2分

， ……………………………3分

因为函数
在点
的切线与直线
平行

所以
，
……………………………5分

（Ⅱ）

令

当
时，

，结论不成立．………………………6分

当
时，
……………………………7分

若
，
，结论不成立 ……………………………9分

若

，则
，在
上，有
，函数
增；

在
上，有
，函
数
减，

只需
，得到
，

所以
……………………………11分

若
，
，函数在
有极小值，只需

得到
，因为
，所以
………………………13分[来源:学*科*网]

综上所述，
……………………………14分

22.解：（Ⅰ）
在区间
上恒成立，

即
区间
上恒成立， …………………1分

.………………3分

经检验， 当a＝- 4时，
，
时，
，

所以满足题意的a的取值范围为
.………………4分

（Ⅱ）函数的定义域
，
，依题意方程
在区间
有两个不等的实根，记
，则有
，

得
.……………………6
分

，
，
，

，令

……………………8分

，
，
,

因为
，存在
，使得
，











-

0

+





，
，
，所以函数
在
为减函数
，

…………………10分

即
……………………12分

法二6分段后面还有如下证法，可以参照酌情给分.

【证法2】
为方程
的解，所以
,

∵
，
，
，∴
,

先证
，即证
（
）,

在区间
内，
，
内
，所以
为极小值，
,

即
，∴
成立；…………………8分

再证
，即证
,

,

令
，
…………………10分

,

,

，
，
,

∴
，
在
为增函数．

．

综上可得
成立．………………………12分