吉林省实验中学2015届高三上学期第三次模拟考试

数学（文）试题

第Ⅰ卷（选择题）

选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合

A.
B.
C.
D.

2.若复
数z满足(3－4i)z＝|4＋3i |，则z的虚部为

A.－4 B.－
C.4 D.

3.如果
,那么下列不等式成立的是

A．
B．
C．
D．

4.设
分别是

所对边的边长，则直线
与
的位置关系是

平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直

5.直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是

A.[0，π) B.
∪

C.
D.
∪

6.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为

A.
B.
C.
D.

7.已知三条不重合的直线
和两个不重合的平面
，下列命题正确的是

A．若
，
，则
B．若
，
，且
，则

C．若
，

，则
D．若
，
，且
，则

8.在同一个坐标系中画出函数
，
的部分图像，其中
且
，

则下列所给图像可能正确的是

A B

C
D

9. 若不等式
对任意

恒成立，则实数
的取值范围为

B.

C.
D.

10. 程序框图如图所示，该程序运行后

输出的
的值是

B.
C.
D.

已知数列
的前
项和为
,
，当
时，
，则
的值为A．2015 B．2013 C．1008
D．1007

若函数
的最小正周期为
，若对任意
,都有
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分。

13.若实数x，y满足
则
的最大值为_____

14.当点
在直线
上移动时,
的最小值是 .

15.已知向量
与
的夹
角为
,且
,
,若
,且
,则实数
的值为__________.

16.设函数
与
是定义在同一区间
上的两个函数，若对任意的
，都有

，则称
与
在
上是“
度和谐函数”，
称为“
度密切区间”.设函数
与
在
上是“
度和谐函数”,则
的取值范围是____________

解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（本
小题满分12分）

已知圆C的圆心C在第一象限，
且在直线
上，该圆与
轴相切，且被直线
截得的弦长为
，直线
与圆C相交.

（Ⅰ）求圆C的标准方程；

（Ⅱ）求出直线
所过的定点；当直线
被圆所截得的弦长最短时，求直线
的方程及最短的弦长。

18.（本小题满分12分）

已知首项都是1的数列
（
）满足
．

（Ⅰ）令
，求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
是各项均为正数的等比数列，且
，求数列
的前
项和
．

19.（本小题满分12分）

已知四棱锥
中,底面
是直角梯形, 平面

平面
R、S分别是棱AB、PC的中点,

（Ⅰ）求证：平面

平面

（Ⅱ）求证：
平面

（III）若点
在线段
上,且

平面
求三
棱锥
的体积.



20.（本小题满分12分）

已知椭圆
的一个顶点坐标为B（0，1），且点
在
上.

（I）求椭圆
的方程；

（II）若直线

与椭圆
交于M，N且
，

求证：
为定值.

21.（本小题满分12分）

已知函数
，其中
为自然对数的底数．

（Ⅰ）求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）若对任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）试探究当

时，方程
解的个数，并说明理由．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.（本小题满分10分）选修4-1 ：几何证明选讲

如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，

弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2 = EF·EC.

（Ⅰ）求证：CE·EB = EF·EP；

（Ⅱ）若CE:BE = 3:2，DE = 3，EF = 2，求PA的长.



23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线
的参数方程为
为参数)，以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）求圆
的直角坐标方程；

（Ⅱ）设
,直线
与圆
相交于点
,求
.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设
都是正实数，求证：

（Ⅰ）

（Ⅱ）



（Ⅰ）
-------3分，

即
-------4分

又
------5分

-----6分

（Ⅱ）
,
--------7分

-------8分

-------9分

-------12分

19.（Ⅰ）

（Ⅱ）

（III）

代入并整理得

可得
--------10分

经验证满足
…………………11分

∴
.………………………………………………………12分

21.解：（Ⅰ）依题意得，
， 1分

2分

3分

所以曲线
在点
处的切线方程为
． 4
分

（Ⅱ）等价于对任意
，
． 5分

设
，
．

则

因为
，所以
，

所以
，故
在
单调递增， 6分

因此当
时，函数
取得最小值
； 7分

所以
，即实数
的取值范围是
． 8分

（Ⅲ）设
，
．

①当
时，由（Ⅱ）知，函数
在
单调递增，

故函数
在
至多只有一个零点，

又
，而且函数
在
上是连续不断的，

因此，函数
在
上有且只有一个零点． 9分

②当
时，
恒成立．证明如下：

设
，则
，所以
在
上单调递增，

所以
时，
，所以
，

又
时，
，所以
，即
．

故函数
在
上没有零点． 10分

③当
时，
，所以函数
在
上单调递减，故函数
在
至多只有一个零点，

又
，而且函数
在
上是连续不断的，

因此，函数
在
上有且只有一个零点． 11分

综上所述，
时，方程
有两个解． 12分

24.（I）5分 (Ⅱ)10分

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