吉林省实验中学2015届高三上学期第三次模拟考试

数学（理）试题

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数
的共轭复数为

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为

（A）对任意x∈R，都有x2＜0 （B）不存在x∈R，使得x2＜0

（C）存在x0∈R，使得x≥0 （D）存在x0∈R，使得x＜0

（3）已
知函数
为奇函数，且当
时，
，则

（A）
（B）0 （C）1 （D）2

（4）设等比数列
中，前n项和为
，已知
，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）已知向量
，
，且
，则
的值为

（A）1 （B）2 （C）
（D）3

（6）如图，设区域
，向区域
内随机投

一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落到阴影区域
内的概率是

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）设
为平面，
为直线，则
的一个充分条件是

（A）
（B）

（C）
（D）

（8）过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的

横坐标为3，|PQ|＝10，则抛物线方程是

（A）y2＝4x （B） y2＝2x （C） y2＝8x （D）y2＝6x

（9）已知两个实数
，满足
．

命题
；命题
，则下列命题正确的是

（A）p真q假 （B）p假q真 （C）p真q真 （D）p假q假

（10）已知
分别是矩形
的边
与
的中点，且
，现沿
将平面
折起，使平面
⊥平面
，则三棱锥
外接球的体积为

（A）
（B）
（C）
（D）

（11）若函数
在区间
是减函数，则
的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

（12）设双曲线
的右焦点为F，过点F作x轴的垂线l交两条渐近线于A、B两点，l与双曲线的一个交点为P，设O为坐标原点，若

，且
，则该双曲线的离心率为

（A）
（B）

（C）
（D）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是_______（结果用最简分数表示）．

（14）在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为 （结果用数字表示）．

（15）已知函数f (x)＝|x－3|＋1，g (x)＝ax．若方程f (x)＝g (x)有两个不相等的实根，则实数
的取值范围是 ．

（16）设等差数列
的前n项和为
，且满足
，
，则
，
，
，
（
）中最大的项是 ．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知
，其中
，
，
．

（Ⅰ）求
的单调递减区间；

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
，
，且向量
与
共线，求边长b和c的值．

（18）（本小题满分12分）

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，

AD＝
，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．

（Ⅰ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF；

（Ⅱ）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小是45°？

（19）（本小题满分12分）

现有6名学生，按下列要求回答问题（列出算式，并计算出结果）：

（Ⅰ）6人站成一排，甲站在乙的前面（甲、乙可以不相邻）的不同站法种数；

（Ⅱ）6人站成一排，甲、乙相邻，且丙与乙不相邻的不同站法种数；

（Ⅲ）把这6名学生全部分到4个不同的班级，每个班级至少1人的不同分
配方法种数；

（Ⅳ）6人站成一排，求在甲、乙相邻条件下，丙、丁不相邻的概率．

（20）（本小题满分12分）

如图所示，抛物线C1：x2＝4y在点A，B处的切线垂直相交于点P，直线AB与椭
圆

C2：
相交于C，D两点．

（Ⅰ）求抛物线C1的焦点F与椭圆C2的左焦点F1的距离；

（Ⅱ）设点P到直线AB的距离为d，是否存在直线AB，使得|AB|，d，|CD|成等比数列？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．

（21）（本小题满分12分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的最大值；

（Ⅱ）设
，
是曲线
的一条切线，证明：
曲线

上的任意一点都不可能在直线
的上方；

（Ⅲ）求证：
（其中e为自然

对数的底数，n∈N*）．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分
）选修4－1：几何证明选讲

已知△ABC中，
，D为△ABC 外接圆劣弧AC上的点（不与点A、C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
．

（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
（t为参数，0≤α＜π）．

以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极
轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为：

ρcos2θ＝
4sinθ．

（Ⅰ）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线l与曲线C交于不同的两点A、B，若|AB|＝8，求α的值．

（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数
．

（Ⅰ）当
时，求不等式
的解集；

（Ⅱ）若
对任意
恒成立，求a的取值范围．



（Ⅱ）∵
，∴
，又
，

∴
，即
，

∵
，由余弦定理得
．

因为向量
与
共线，所以
，

由正弦定理得
，∴
．

（18）解：

（Ⅰ）建立如图所示空间直角坐标系，则
．

设
，则
，所以
，即无论点E在边BC的何处，都有
．

（Ⅱ）设
，平面PDE的法向量为
，由
得

而
，依题意得PA与平面PDE所成的角为45°，所以
，即
，解得
或
（舍）

（19）解：

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）

（Ⅳ）

于是点P(2k，－1)到直线AB：kx－y＋1＝0的距离d＝＝2.

由得(1＋2k2)x2＋4kx－2＝0，

从而|CD|＝
＝ ，

同理，|AB|＝4(1＋k2) ．

若|AB|，d，|CD|成等比数列，则d2＝|AB|·|CD|，

即(2)2＝4(1＋k2)· ，

化简整理，得28k4＋36k2＋7＝0，此方程无实根，

所以不存在直线AB，使得|AB|，d，|CD|成等比数列．

（21）解：

（Ⅰ）
的定义域为
，
，令
，得
．

当
时，
，∴
在
上是增函数，

当
时，
，∴
在
上是减函数，

故
在
处取得最大值
．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，

设
是曲线
上的一点，

则
在点M处的切线方程为
，

即
，

令

则
，

∵
，
在
上是减函数，

∴
在
处取得最大值
，即
恒成立，

故曲线
上的任意一点不可能在直线l的上方．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知
在
上恒成立，当且仅当
时，等号成立，

故当
且
时，有
，

又因为
，所以

所以
．

∴
，

∴
，则
或
．

（24）解：

（Ⅰ）当
时，不等式
为
，

所以
或
或
，解得
或
，

故不等式
的解集为{x|x≤0，或x≥5}．

（Ⅱ）因为
（当
时等号成立），

所以
，由题意得
，解得
或
．

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