2015届湖北省枣阳市白水高中上学期期末考试高三理科数学试题

（2015.1.31）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．i为虚数单位，若
,则

A．1 B．
C．
D．2

2．已知
,
，“存在点
”是“
”的

A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件

3．若
的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为

A．1 B．2 C．3 D．4

5.如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面上.用一平行于平面的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）.设截面面积分别为
和
，那么

A．

B．
=
C．

D．不确定

6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别是

A．24+
和40

B．24+
和72

C．64+
和40

D．50+
和72

7．已知x，y满足约束条件
若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为

A.或－1 B．2或 C．2或1 D．2或－1

8．如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0,—1)，B (,—1)，C(,1)，D(0,1)，正弦曲线f(x)=sinx和余弦曲线g(x)=cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是

A．

B．

C．

D．

9．抛物线
的焦点为，准线为
，
是抛物线上的两个动点，且满足
．设线段
的中点
在
上的投影为
，则
的最大值是

A．
B．
C．
D．

10．已知函数
是定义在R上的奇函数，它的图象关于直线
对称，且

.若函数
在区间
上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

（一）必考题（11—14题）

11．已知正方形
的边长为,为
的中点,为
的中点,则
_______.

12．根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是_______.

13.设斜率为
的直线
与双曲线
交于不同的两点P、Q，若点P、Q在轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是 .

14. “渐升数”是指除最高位数字外，其余每一个数字比其左边的数字大的正整数（如13456和35678都是五位的“渐升数”）.

（Ⅰ）共有 个五位“渐升数”（用数字作答）；

（Ⅱ）如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，则第110个五位“渐升数”是 .

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.）

15．（选修4-1：几何证明选讲）

过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝________．

16．（选修4-4：坐标系与参数方程）

已知曲线
的参数方程是
（为参数，a为实数常数），曲线
的参数方程是
（为参数，b为实数常数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程是
. 若
与
分曲线
所成长度相等的四段弧，则
.

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分11分）

已知函数
的在区间
上的最小值为0.

（Ⅰ）求常数a的值；

（Ⅱ）当
时，求使
成立的x的集合.

18．（本小题满分12分）

已知等差数列{an}的首项为1，前n项和为
，且S1，S2，S4成等比数列．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）记
为数列
的前项和，是否存在正整数n，使得
？若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.

19．（本小题满分12分）

如图,在棱长为2的正方体
中，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF.

（Ⅰ）求证：A1F⊥C1E；

（Ⅱ）当三棱锥
的体积取得最大值时，求二面角
的正切值.

20．（本小题满分12分）

对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记录：

日车流量x















频率

0.05

0.25

0.35

0.25

0.10

0



将日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立．

（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率；

（Ⅱ）用X表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X的分布列和数学期望．

21．（本小题满分14分）

已知椭圆C：
的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为
．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线
上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.

（ⅰ）若OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)，求的值；

（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当
最小时，求点T的坐标．

22．（本小题满分14分）

已知函数
(a为常数)，曲线y＝f(x)在与y轴的交点A处的切线斜率为－1.

(Ⅰ)求a的值及函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)证明：当
时，
；

(Ⅲ)证明：当
时，
.

2015届湖北省枣阳市白水高中上学期期末考试高三理科数学试题

三、解答题：

17．解：（Ⅰ）因为
，所以
.

因为
时，
，所以
时
的取得最小值
.

依题意，
，所以
；…………………………………………………（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
.

要使
，即
.

所以
，即
.

当
时，
；当
时，
.

又
，故使
成立的x的集合是
.………………………………（11分）

当
时，

.

由
，得
，解得
.

故的最大值为1006. …………………………………………………（12分）

19．解：设
.以D为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：

所以当
时，即E，F分别是棱AB，BC的中点时，三棱锥B1-BEF的体积取得最大值，此时E，F坐标分别为
,
.

设平面
的法向量为
，

则
得

取
，得
.显然底面
的法向量为
.

设二面角
的平面角为
，由题意知
为锐角.

因为
，所以
，于是
.

所以
，即二面角
的正切值为
.………………………………（12分）

所以椭圆C的标准方程是
. …………………………………………………（4分）

（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标是(2，0).

设直线PQ的方程为x＝my+2，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得

消去x，得(m2＋3)y2+4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝.于是x1＋x2＝m(y1＋y2)+4＝.

设M为PQ的中点，则M点的坐标为
.

因为
，所以直线FT的斜率为
，其方程为
.

当
时，
，所以点的坐标为
，

此时直线OT的斜率为
，其方程为
.

将M点的坐标为
代入，得
.

解得
. ………………………………………………（8分）

（ⅱ）由（ⅰ）知T为直线
上任意一点可得，点T点的坐标为
.

于是
，

.

所以

.

当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值
．

故当最小时，T点的坐标是(3，1)或(3，－1)．………………………………………………（14分）

22．解：（Ⅰ）由
，得
.

又
，所以
.所以
，
.

由
，得
.

所以函数
在区间
上单调递减，在
上单调递增. ……………………（4分）

(Ⅱ)证明：由（Ⅰ）知
.

所以
，即
，
.

令
，则
.

所以
在
上单调递增，所以
，即
.…………（8分）

(Ⅲ)首先证明：当
时，恒有
.

证明如下：令
，则
.

由(Ⅱ)知，当
时，
，所以
，所以
在
上单调递增，

所以
，所以
.

所以
，即
.

依次取
，代入上式，则

，

，

.

以上各式相加，有

所以
，

所以
，即
.………（14分）

另解：用数学归纳法证明（略）